Замена задачи Коши для дифференциального уравнения высокого порядка задачей Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка

Экзаменационный билет № 18

Линейная, квадратичная интерполяция

Линейная и квадратичная интерполяция. Отрезок [a,b] делится узлами x_i (i=0,1,...,n) на n частичных отрезков [x_i-1,x_i], при этом x₀=a, x_n=b.

Для построения линейной интерполяции аппроксимируемая функция y=f(x) заменяется на каждом частичном отрезке [x_i-1,x_i] (i=1,2,...,n) многочленом первой степени, т.е. прямой линией:

(2.1)

проходящей через две точки, с координатами x_i-1,y_i-1=y(x_i-1) и x_i,y_i=y(x_i).

Следовательно на каждом отрезке [ x_i-1,x_i ] имеется своя прямая линия, которая описывается уравнением, проходящим через две точки. В результате для всего отрезка получаем ломаную линию, которая в узлах x_i совпадает со значением функции. Коэффициенты k_i и b_i определяются из следующей системы уравнений:

, i=1,...n. (2.2)

Из (2.2) получаем значения неизвестных коэффициентов:

(2.3)

Более точной является квадратичная интерполяция. В качестве интерполяционной функции на отрезке [ x_i-1,x_i+1 ] принимается квадратный трехчлен:

(2.4)

Так как это уравнение параболы, то такую интерполяцию также называют параболической. Уравнение параболы содержит три неизвестных коэффициента a_i, b_i, c_i, которые определяются из системы уравнений:

. (2.5)

Интерполяция для любой точки x отрезка [x₀,x_n] проходит по трем ближайшим точкам.

При линейной и параболической интерполяции имеются точки, где производная испытывает скачок. При линейной интерполяции это происходит в узлах, а при квадратичной там, где одни три точки заменяются на три другие точки. Этого недостатка лишена интерполяция сплайнами.

Метод Гаусса-Зейделя и метод простой итерации

Итерационные методы.Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления.

Задается некоторое приближенное решение x⁽⁰⁾, затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x⁽¹⁾. Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью, т.е. до выполнения условий:

, i=1,2,...,n.

а) метод простой итерации (Метод Якоби). Система уравнений (2.1) сводится к виду:

(2.14)

Задаются значения нулевого приближения и вычисляется значение первого приближения , затем с помощью вычисляется значение и т.д. до . Затем процесс повторяется. С помощью значений вычисляется второе приближение и т.д. Здесь при вычислении k приближения для используется k-е приближение для значений и k-1 приближение для значений .

б) метод Гаусса-Зейделя.В этом методе система (2.1) также сводится к виду (2.14), при этом для вычисления всех значений k приближения для используются только значения (k-1) приближения .

Для сходимости интерполяционного процесса Якоби и Гаусса-Зейделя достаточно выполнения условия :

(2.15)

Метод Якоби применяются к системам с матрицами близким к диагональным, а метод Гаусса-Зейделя - близким к нижним треугольникам.