Уравнения с частными производными первого порядка

Целью является формирование:

1. Способности работать самостоятельно, забота о качестве, стремление к успеху (ОК-6)

2. Способности порождать новые идеи (ОК-5)

3. Умения ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе (ПК-7)

4. Умения делать самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач (ПК-4)

5. Умения определять общие формы закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин (ПК-10)

Теоретические основы

Вывод уравнений

Уравнение Хопфа. Рассмотрим одномерную среду, состоящую из частиц, движущихся но инерции (т.е. без взаимодействия и в отсутствии внешних сил). Обозначим u(t,x) — скорость частицы, находящейся в момент времени t в точке х. Если — траектория движения некоторой фиксированной частицы, то ее скорость — , ускорение же равно нулю. Значит,

Полученное уравнение

(1)

описывающее эволюцию поля скоростей и невзаимодействующих частиц, и называется уравнением Хопфа.

Уравнение неразрывности. Это уравнение, которое выводится в курсе механики сплошной среды, описывает движение жидкости (или газа) в при отсутствии источников и стоков. Обозначим v(x,t) = — вектор скорости движения жидкости, — ее плотность. Зафиксируем произвольную область . В момент времени t масса жидкости, содержащейся в этой области равна

,

скорость изменения этой массы есть . С другой стороны, при отсутствии источников и стоков внутри V, изменение массы происходит только от втекания и вытекания жидкости через границу рассматриваемой области, то есть скорость изменения массы равна потоку жидкости через :

Здесь — скалярное произведение вектора скорости v и вектора единичкой внешней нормали к границе в точке — элемент площади на .

Таким образом, имеем:

В предположении, что и и достаточно гладки, преобразуем правую часть последнего равенства по формуле Гаусса-Остроградского (интеграл от дивергенции но некоторой области равен потоку через ее границу):

(2)

где div — оператор дивергенции по пространственным переменным. Напомним, дивергенцией векторного поля называется скалярная величина

В силу произвольности области , из равенства (2) приходим к хорошо известному в гидродинамике уравнению неразрывности:

. (3)

Уравнение просачивания воды через песок. Для упрощения введем несколько естественных ограничений. Предположим, что вода двигается под действием только силы тяжести, т.е. движение вертикальное и от горизонтальных координат зависимости нет. Источники и стоки отсутствуют, а скорость просачивания v есть функция плотности , т.е. v = v(u).

рис.1

Экспериментально установлено, что зависимость v(u) выглядит так, как изображено на рис. 1. На отрезке с хорошей точностью можно считать, что эта зависимость почти параболическая, т.е. .

В рассматриваемом одномерном случае уравнение (3) перепишется в виде

(4)

или

где . Вспоминая об экспериментально найденной зависимости скорости просачивания от плотности, считаем , и окончательно имеем:

Уравнение дорожного движения. Это уравнение, как и уравнение фильтрации, получается из одномерного но х уравнения неразрывности (3). В задачах дорожного движения используют экспериментально найденную зависимость скорости движения автомобилей от плотности машин на автостраде в данной точке. Типичная модель дорожного движения задается формулой

В этом случае уравнение (4) принимает вид