Плоскость и прямая в пространстве
3.1. Уравнение поверхности в пространстве.
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.
Прямоугольная декартова система координат в пространстве представляет собой три перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями. Координатами точки M0(x0,y0,z0) называются координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.
Уравнением поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и только они.
3.2. Плоскость в пространстве.
Пусть плоскость проходит через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору =(А,B,C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор называется нормальным вектором плоскости. Для произвольной точки плоскости M(x,y,z) («текущей точки») векторы = (x-x0, y-y0, z-z0) и должны быть перпендикулярны. Следовательно,
скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. ( , )=0. Полученное уравнение представим в координатной форме:
А(x- x0) + В(y- y0) + C(z- z0) = 0. (18)
|
|
|
|
|
|
Решение. Искомое уравнение имеет вид 2(x+1)+5(y-0)-1(z-2)=0. ■
Уравнение плоскости, записанное в виде
Аx + By + Cz + D = 0 (19)
(где D = - Аx0 - By0 - Cz0), называется общим уравнением плоскости. Так, в предыдущем примере уравнению можно придать вид 2x+5y-z+4=0.
Замечание. Всякое уравнение вида (19) (где хотя бы одно из чисел А, В, С не равно нулю) задает плоскость в пространстве и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.
Отметим, что уравнение ( , )=0 можно применить для вывода уравнения плоскости в пространстве, заданной тремя точками M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), не лежащими на одной прямой. Так, взяв в качестве нормального вектора = - векторное произведение на , а в качестве M0 точку M1, получим
( , ) = 0,
что приводит к уравнению плоскости в форме определителя:
. (20)
В частности, если плоскость не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M1 (a,0,0), M2 (0,b,0), M3 (0,0,c), то уравнение (20) приводится к виду
, (21)
называемому уравнением плоскости «в отрезках».
Рассмотрим далее частные случаи общего уравнения плоскости.
Если D=0, то уравнение Аx+By+Cz=0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора = (А,B,C). Так, например, если А=0, то уравнение By+Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (и проходящую через ось Ox, если D=0); если А=B=0, то уравнение Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную плоскости Oxy (в частности, z = 0 - уравнение самой плоскости Oxy).
Двугранный угол между двумя плоскостями, заданными своими общими уравнениями
А1x + B1y + C1z + D1 = 0,
А2x + B2y + C2z + D2 = 0, (22)
равен углу j между их нормальными векторами =(А1,B1,C1) и = =(А2,B2,C2) и определяется по формуле
cosj = = ; (23)
угол j лежит в пределах от 0 до p; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен p -j.
Пример 17. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 3x-y-2z+250=0 и x-2y+z-111=0.
Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами =(3,-1,-2) и =(1,-2,1):
cos j = = ;
отсюда j=arccos . Другой двугранный угол равен 180°-71°=109°. ■
Две данные плоскости (22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы =(А1,B1,C1) и =(А2,B2,C2) перпендикулярны между собой, откуда скалярное произведение ( , )=0 или =0. Например, плоскости 3x-y+2z-31=0 и 5x+3y-6z+1=0 перпендикулярны, так как 3×5+(-1) ×3+2×(-6)=0. Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия .
Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1,-1,0) и параллельной плоскости 2x+3y-4z-1=0.
Решение. Так как у параллельных плоскостей один и тот же нормальный вектор =(2,3,-4), то искомое уравнение имеет вид 2(x-1)+3(y+1)-4(z-0)=0 или 2x+3y-4z+1=0. ■
3.3 [кроме ФЭУ] .Прямая линия в пространстве.
Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F(x,y,z)=0, F(x,y,z)=0 как пересечение двух поверхностей, задаваемых этими уравнениями.
Так, прямая в пространствеможет быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе
Если прямая в пространстве параллельна вектору = (а1, а2, а3) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M0(x0,y0,z0), то её уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов = (x-x0, y-y0, z-z0) (где M(x,y,z) - произвольная точка прямой) и = (а1, а2, а3):
. (24)
Уравнения (24) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки M0(1,-1,3) и M1(0,3,5).
Решение. Воспользуемся уравнениями (24), взяв в качестве направляющего вектора = (0-1,3-(-1),5-3) или = (-1,4,2):
.
Понятие множества
При изложении теории множеств мы будем придерживаться так называемой интуитивной точки зрения, согласно которой такие понятия, как "множество", "элемент множества", относятся к начальным понятиям математики и поэтому не подлежат определению.
С понятием множества мы соприкасаемся, прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.
Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами. Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита. Если a является элементом множества M, то будем говорить, что a принадлежит множеству M, и использовать запись a Î M, в противном случае, если a не принадлежит множеству M, будем использовать обозначение a Ï M.
В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R.