Плоскость и прямая в пространстве

3.1. Уравнение поверхности в пространстве.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.

Прямоугольная декартова система координат в пространстве представляет собой три перпендикулярные прямые Ox, Oy, Oz, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями. Координатами точки M0(x0,y0,z0) называются координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.

Уравнением поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и только они.

3.2. Плоскость в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(А,B,C). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru называется нормальным вектором плоскости. Для произвольной точки плоскости M(x,y,z) («текущей точки») векторы Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (x-x0, y-y0, z-z0) и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru должны быть перпендикулярны. Следовательно,

скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. ( Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru )=0. Полученное уравнение представим в координатной форме:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru А(x- x0) + В(y- y0) + C(z- z0) = 0. (18)

M
M0
Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Уравнение (18) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (А,B,C) и проходящей через данную точку M0(x0,y0,z0) (рис. 9).

y
x
Рис. 9
Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru Пример 16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(-1,0,2) и перпендикулярной вектору Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (2,5,-1).

Решение. Искомое уравнение имеет вид 2(x+1)+5(y-0)-1(z-2)=0. ■

Уравнение плоскости, записанное в виде

Аx + By + Cz + D = 0 (19)

(где D = - Аx0 - By0 - Cz0), называется общим уравнением плоскости. Так, в предыдущем примере уравнению можно придать вид 2x+5y-z+4=0.

Замечание. Всякое уравнение вида (19) (где хотя бы одно из чисел А, В, С не равно нулю) задает плоскость в пространстве и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Отметим, что уравнение ( Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru )=0 можно применить для вывода уравнения плоскости в пространстве, заданной тремя точками M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), не лежащими на одной прямой. Так, взяв в качестве нормального вектора Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru - векторное произведение Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru на Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , а в качестве M0 точку M1, получим

( Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru ) = 0,

что приводит к уравнению плоскости в форме определителя:

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . (20)

В частности, если плоскость не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M1 (a,0,0), M2 (0,b,0), M3 (0,0,c), то уравнение (20) приводится к виду

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , (21)

называемому уравнением плоскости «в отрезках».

Рассмотрим далее частные случаи общего уравнения плоскости.

Если D=0, то уравнение Аx+By+Cz=0 определяет плоскость, проходящую через начало координат. Другие частные случаи определяются расположением нормального вектора Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (А,B,C). Так, например, если А=0, то уравнение By+Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную оси Ox (и проходящую через ось Ox, если D=0); если А=B=0, то уравнение Cz+D=0 определяет плоскость, параллельную плоскости Oxy (в частности, z = 0 - уравнение самой плоскости Oxy).

Двугранный угол между двумя плоскостями, заданными своими общими уравнениями

А1x + B1y + C1z + D1 = 0,

А2x + B2y + C2z + D2 = 0, (22)

равен углу j между их нормальными векторами Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(А1,B1,C1) и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = =(А2,B2,C2) и определяется по формуле

cosj = Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru ; (23)

угол j лежит в пределах от 0 до p; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен p -j.

Пример 17. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями 3x-y-2z+250=0 и x-2y+z-111=0.

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(3,-1,-2) и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(1,-2,1):

cos j = Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru ;

отсюда j=arccos Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . Другой двугранный угол равен 180°-71°=109°. ■

Две данные плоскости (22) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(А1,B1,C1) и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(А2,B2,C2) перпендикулярны между собой, откуда скалярное произведение ( Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru , Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru )=0 или Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =0. Например, плоскости 3x-y+2z-31=0 и 5x+3y-6z+1=0 перпендикулярны, так как 3×5+(-1) ×3+2×(-6)=0. Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru коллинеарны, т.е. при выполнении условия Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Пример 18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1,-1,0) и параллельной плоскости 2x+3y-4z-1=0.

Решение. Так как у параллельных плоскостей один и тот же нормальный вектор Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru =(2,3,-4), то искомое уравнение имеет вид 2(x-1)+3(y+1)-4(z-0)=0 или 2x+3y-4z+1=0. ■

3.3 [кроме ФЭУ] .Прямая линия в пространстве.

Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений F(x,y,z)=0, F(x,y,z)=0 как пересечение двух поверхностей, задаваемых этими уравнениями.

Так, прямая в пространствеможет быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru

Если прямая в пространстве параллельна вектору Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (а1, а2, а3) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M0(x0,y0,z0), то её уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (x-x0, y-y0, z-z0) (где M(x,y,z) - произвольная точка прямой) и Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (а1, а2, а3):

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru . (24)

Уравнения (24) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки M0(1,-1,3) и M1(0,3,5).

Решение. Воспользуемся уравнениями (24), взяв в качестве направляющего вектора Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (0-1,3-(-1),5-3) или Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru = (-1,4,2):

Плоскость и прямая в пространстве - student2.ru .

Понятие множества

При изложении теории множеств мы будем придерживаться так называемой интуитивной точки зрения, согласно которой такие понятия, как "множество", "элемент множества", относятся к начальным понятиям математики и поэтому не подлежат определению.

С понятием множества мы соприкасаемся, прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.

Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами. Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита. Если a является элементом множества M, то будем говорить, что a принадлежит множеству M, и использовать запись a Î M, в противном случае, если a не принадлежит множеству M, будем использовать обозначение a Ï M.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R.

Наши рекомендации