Другие характеристики центра группирования случайной величины

1.Среднегеометрическое случайной величины Х: G(Х) = eM(ln Х).

Пусть Х – дискретная случайная величина, имеющая равномерное распределение.

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru , тогда

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru – среднее геометрическое.

2. Среднее гармоническое: Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Используется в экономике в индексных расчетах.

3. Медиана: Me(x) – квантиль xp, соответствующая вероятности p = 0,5.

Точка хр, являющаяся решением уравнения F(xp) = р, называется квантилью распределения. Медиана используется в качестве характеристики среднего, если случайная величина измерена в порядковой шкале.

4.Мода: M0(x) – это значение случайной величины, соответствующей максимальной вероятности pi, если X – дискретная величина. Используется для оценки среднего величин, измеренных в номинальной шкале.

Если Х – непрерывная случайная величина, то мода – точка локального максимума плотности распределения.

Если плотность одномодального распределения непрерывной случайной величины симметрична относительно некоторой прямой х = а, то МХ = Ме(х) = М0(х) = а.

Характеристики вариации случайной величины

Характеристики вариации дают представления о степени отклонения случайной величины от центра группирования. Одной из характеристик вариации является среднее модуля отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для дискретной случайной величины

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru ,

для непрерывных

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Данную характеристику используют редко, так как выражение Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru задается разными функциями на разных участках. Этого недостатка лишены дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение 1.Дисперсией случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru . (1)

Если Х – непрерывная, то Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru . (2)

Если Х – дискретная, то Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru . (3)

Формулы (2) и (3) следуют из определения дисперсии и теорем 1 и 2 лекции 13. Часто пользуются другой формулой

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru . (4)

Доказательство.

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru

Определение 2. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Пример1. Пусть Х – погрешность регистрации веса при взвешивании на весах с ценой деления 1 кг. Y – погрешность с ценой деления 2 кг. Найти DX, DY, σx, σy.

Будем считать, что погрешности Х и Y равномерно распределены соответственно на интервалах (–0,5; 0,5) и (–1; 1), Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Тогда

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru Пользуясь выведенной формулой, получим – Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru ; Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru ; Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru ; Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

По условию задачи один из весов вдвое точнее других, а дисперсии отличаются в четыре раза, в то время как среднеквадратические отклонения отличаются в два раза. Таким образом, среднеквадратическое отклонение может служить мерой точности приборов. Заметим, что единица измерения дисперсии – кг2, а единица измерения среднеквадратического отклонения – кг, т.е. среднеквадратическое отклонение измеряется в тех же величинах, что и исходная величина.

Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной C равна 0,DC = 0, С = const.

Доказательство. DC = M(С – MC)2 = М(С – С) = 0.

2. D(CX) = С2DX.

Доказательство. D(CX) = M(CX)2 – M2(CX) = C2MX2 – C2(MX)2 = C2(MX2 – M2X) = С2DX.

3. Если X и Y – независимые случайные величины, то

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru

Доказательство.

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru

4. Если Х1, Х2, … не зависимы, то Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.

5. Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Доказательство. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1)2D(Y) = DX + D(Y).

6. Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru

Доказательство. D(C+X) = M(X+C–M(X+C))2 = M(X+C–MX–MC)2 = M(X+C–MX–C)2 = M(X–MX)2 = DX.

Пусть Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru – независимые случайные величины, причем Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru , Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

Составим новую случайную величину Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru , найдем математическое ожидание и дисперсию Y.

Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru ; Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru Другие характеристики центра группирования случайной величины - student2.ru .

То есть при n®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.

Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в основе закона больших чисел.

Наши рекомендации