ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
Для вычисления при больших n вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли находится между m1 и m2 , используется интегральная теорема Муавра–Лапласа.
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.Если вероятность успеха в каждом испытании р, pÎ(0;1) постоянна, то при n ® ¥ для любых a, b
.
На основании интегральной теоремы Муавра–Лапласа для вычисления вероятности события 
при больших n и npq >9 используют приближенную формулу
где 
.
Значения 
можно найти, воспользовавшись таблицами функции Лапласа 
, покажем это:
= 
,
т.е. при больших n,
Ф(b) – Ф(а). (1)
Значения функции Лапласа приведены в таблицах для х > 0. Для того, чтобы вычислить значения функции для отрицательных х, надо воспользоваться следующей теоремой.
Теорема.Ф(x) + Ф(-x) = 1.
Доказательство: j(x) – чётная, так как j(x) = j(-x). Тогда 
(рис.1).
 |
-х х
Рис. 1
Следовательно, по интегральной теореме Муавра–Лапласа
.
В некоторых источниках Ф(х) определяется как 
.
В этом случае Ф(–x) = –Ф(x).
Событие m1 £ m £ m2 эквивалентно событию 
.
Поэтому, учитывая (1) для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено в пределах от m1 до m2 , можно использовать формулу
, (2)
где 
, 
.
Формула (2) хорошо работает, если n < 50. При больших значениях n лучше взять
и 
.
Обозначим через b вероятность того, что относительная частота наступления успеха в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности успеха p не более чем на e > 0, т.е. 
. Покажем, что при достаточно больших n с помощью интегральной теоремы Муавра–Лапласа можно определить вероятность b.
Следовательно, получим
(3)
Формула содержит четыре параметра: n, p, e, b. Если известны любые 3, то можно определить четвертый параметр.
Если известны b, e, то n можно найти по формуле
(4)
где 
– это квадрат числа хb, такого, что Ф(х) = 
.
Теорема Бернулли. Пусть m – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, вероятность успеха в каждом испытании равна p, тогда
"e>0, 
.
Доказательство.
Задача 1. Вероятность того, что случайно выбранный прибор нуждается в дополнительной настройке, равна 0,05. Если при выборочной проверке партии приборов обнаруживается, что не менее 6 % отобранных приборов нуждаются в регулировке, то вся партия возвращается для доработки. Определить вероятность того, что партия будет возвращена, если для контроля из партии выбрано 500 приборов.
Решение.Партия будет возвращена, если число отобранных приборов, нуждающихся в настройке, будет больше 6%, т.е. m1 = 500 × 6/100 = 30. Далее: p = 0,05: q = 0,95; np = 25; 
4,87. За успех считаем, если прибор требует дополнительной настройки.
Применим интегральную теорему Муавра–Лапласа.
Задача 2. Определить, сколько надо отобрать изделий, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что относительная частота бракованных изделий будет отличаться от вероятности их появления не более чем на 0,01.
Решение.Для решения задачи выберем в качестве математической модели схему Бернулли и воспользуемся формулой (4). Надо найти такое n, чтобы выполнялось равенство (4), если e = 0,01, b = 0,95, вероятность р неизвестна.
Ф(хb) = (1 + 0,95) / 2 = 0,975. По таблице приложения найдем, что хb = 1,96. Тогда по формуле (4) найдем n = ¼ × 1,962/0,012 = 9600.