Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

3.5.1.Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет один раз; в) герб выпадет не менее двух раз.

3.5.2. При бросании игральной кости, специально утяжеленной с одной стороны, вероятность выпадения шестерки равна 0,3. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании игральной кости: а) шестерка выпадет два раза; б) шестерка выпадет не менее двух и не более четырех раз; в) шестерка выпадет четное число раз.

3.5.3.Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Считая, что вероятность попадания при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,8, найти вероятность того, что стрелок попал в мишень: а) два раза; б) не более трех раз; в) хотя бы один раз; г) один раз.

3.5.4. В среднем 10% автомобилей, производимых заводом, имеют брак. Для контроля из партии автомобилей взяли 5 машин. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 машины без брака; б) не более 3 машин без брака.

3.5.5. Из колоды в 36 карт вынимается карта, записывается ее название и затем карта возвращается в колоду, после чего та тщательно перемешивается. Найти вероятность того, что при шестикратном повторении описываемого опыта: а) шестерки будут вынуты два раза; б) шестерки будут вынуты 5 раз; в) трефовые карты будут вынуты трижды; г) будут вынуты только трефовые карты; д) трефовый туз будет вынут дважды; е) трефовый туз появится хотя бы один раз.

3.5.6. В память ЭВМ записывается 8-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что будет записано число, в котором имеется: а) ровно 4 единицы; б) не менее двух единиц.

3.5.7. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В отдел магазина поступило 20 телевизоров. Что вероятнее: что в это партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

3.5.8. Устройство состоит из 7 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,1. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из семи.

3.5.9. Устройство состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=5х10-4. Найти вероятность того, что за время Т откажет: а) ровно три элемента; б) не более трех элементов.

3.5.10.Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят: а) 5 абонентов; б) не менее трех абонентов.

3.5.11. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) более двух.

3.5.12. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить: а) ровно шесть семян сорняков; б) более трех семян сорняков?

3.5.13. На первом курсе учится 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения: а) для одного студента 1-го курса; б) для двух студентов.

3.5.14. Игральную кость подбрасывают 180 раз. Найти вероятность того, что единица выпадет: а) 33 раза; б) от 20 до 29 раз; в) менее 35 раз; г) не менее 25 раз.

3.5.15. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз.

3.5.16. В компьютерных классах одновременно установили 84 новых компьютера. Вероятность безотказной работы одного компьютера в течение трех лет равна 0,7. Найти вероятность того, что за три года откажет: а) ровно 21 компьютер; б) от 21 до 27 компьютеров; в) менее 21 компьютера.

3.5.17. В среднем 10% книг, выпускаемых комбинатом, имеют мелкие полиграфические дефекты. Найти вероятность того, что в партии из 400 книг дефекты будут иметь: а) 28 книг; б) от 34 до 45 книг; в) не менее 52 книг.

3.5.18. Известно, что в среднем четвертая часть пересаженных саженцев липы погибает. Найти вероятность того, что из 300 саженцев липы выживет: а) 240; б) не менее 201.

3.5.19. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет: а) 15 ошибок; б) меньше 20 ошибок.

3.5.20. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 60 долларов страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 5000 долларов. Считая, что вероятность поломки автомобиля в течение года в результате аварии равна 0,006, найти вероятность того, что: а) по истечении года работы страховая компания окажется в убытке; б) прибыль компании окажется не меньше 200000 долларов; в) прибыль окажется не меньше 300000 долларов.

3.5.21. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет: а) 51 мальчик; б) мальчиков больше, чем девочек.

3.5.22.Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, находящихся в аудитории, окажется не менее 10%, носящих очки?

3.5.23. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа, каждым из которых любой зритель может воспользоваться с равной вероятностью. Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью 0,99 любой зритель мог раздеться в том гардеробе, в который он обратился сразу после входа в театр?

3.5.24. Игрок X играет с равносильным противником Y играют в игру, в которой нет ничьих. Найти вероятности следующих событий: A – X выиграл три партии из четырех; B – X выиграл пять партий из восьми. Какая из вероятностей больше?

3.5.25. Предприятие выпускает 2/3 изделий высшего качества. Взяли наугад 4 изделия. Какова вероятность, что среди них ровно одно изделие высщего качества?

3.5.26. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность безотказной работы в течение года для каждого узла равна 0,9. Найти вероятности следующих событий: A – за год откажет ровно один узел; B – за год откажет хотя бы один узел; C – за год откажут не менее двух узлов.

3.5.27. Испытуемому задано пять вопросов, к каждому их которых прилагается по три ответа. Испытуемый выбирает ответы наугад. Найти вероятности следующих событий: A – дано четыре верных ответа; B – дан хотя бы один верный ответ.

3.5.28. Вероятность попадания торпеды в корабль равна 0,3. Сколько нужно выпустить торпед, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше 0,9.

3.5.29. Вероятность того, что изделие при транспортировке повредится, равна 0,0005. С завода отправлено четыре тысячи изделий. Найти вероятность следующего события A: в пути повредится более двух изделий.

3.5.30. Вероятность события A в одном опыте равна 1/5. Пусть k – число появлений события A в ста независимых опытов. Приближенно найти вероятность следующего события A: 8 = k= 32.

3.5.31. Восемьдесят процентов приборов после сборки нуждаются в регулировке. За смену собрали 400 приборов. Приближенно найти вероятности того, что нужно отрегулировать: (1) не менее 310 приборов; (2) не более 350 приборов; (3) от 304 до 336 приборов.

3.5.32. Вероятность рождения мальчика приближенно равна 0,51. Приближенно найти вероятность того, что среди 400 новорожденных доля мальчиков отличается от 0,51 не более чем на 0,05.

Закон распределения, функция распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины (ДСВ). Законы распределения: биноминальный, Пуассона.

3.6.1. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi -1
рi 0,2 р 0,3

Найти: а) вероятность р; б) Р (Х Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 0); в) Р(-1<X<3); г) P(-2 Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru X<0); д) P(X>-1); е) функцию распределения F(x). Построить график функции распределения и полигон. Вычислить М [Х] и D[Х].

3.6.2. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi
рi 0,2 0,1 0,4 0,3

Найти: а) Р (Х>2); б) Р(1,5 Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 3,5); в) Р (Х<4); г) Р(2 Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru Х<5); д) функцию распределения; е) M[Х]; ж) D[Х]. Построить график функции распределения и полигон.

3.6.3. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi
рi р1 р2 ¼

Найти р1 и р2, если М [Х]=1. Найти: а) P(-1<X<3); б) P(0<X Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 3); в) P(2 Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru X<4); г) D[Х]. Построить график функции распределения.

3.6.4. Выполнить задания предыдущей задачи, если закон распределения задан таблицей:

хi
рi р1 р2 1/4

и М [Х]=7/4.

3.6.5.Найти: а) закон распределения; б)М[Х]; в) D [Х]; г) P (1<X<2); д) Р(X Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 1,5), если функция распределения случайной величины Х равна

Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru

0, если х Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 0,

3/5, если 0<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 1,

F (x)= 4/5, если 1<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 1,5

14/15, если 1,5<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 3,

1, если х>3

3.6.6. Найти: а) закон распределения; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(|X| Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 1); д) P(0<X Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 2), если функция распределения случайной величины Х равна

 
  Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru

0, если х Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru - 2,

1/3, если – 2<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 0,

F (x)= 5/6, если 0<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 1,

11/12, если 1<x Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. - student2.ru 2,

1, если x>2

3.6.7. Студент знает 10 из 15 экзаменационных вопросов. Ему задают два вопроса, случайным образом выбранные из списка. Случайная величина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти закон распределения данной случайной величины, М [Х], D[Х].

3.6.8. В лотерее на каждые 100 билетов один выигрывает 500 рублей, два – по 300 рублей, три – по 100. Построить закон и функцию распределения выигрыша владельца одного билета, если билет стоит 50 рублей. Найти математическое ожидание выигрыша.

3.6.9. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0,7, для второго стрелка – 0,8. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Найти закон распределения данной случайной величины, M[Х], D[Х].

3.6.10. Бросают четыре монеты. Найти: а) закон и функцию распределения числа выпавших гербов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.6.11. В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму «Турсервис», оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.6.12. Три читателя библиотеки взяли по экземпляру одной и той же книги. Раскрыв наугад книгу, они ищут на этой странице опечатку. Вероятность найти опечатку на одной странице равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа обнаруженных страниц с опечатками и вероятность того, что это число не больше 1.

3.6.13. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимается шар, записывается его цвет и шар возвращается обратно. Опыт повторяется 5 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений белого шара, а также вероятность того, что это число будет не меньше 2.

3.6.14. Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв.

3.6.15. В условиях задачи 3.5.20 найти: а) математическое ожидание числа страховок, выплаченных компанией за год; б) среднюю годовую прибыль страховой компании.

3.6.16. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что: а) за две секунды на АТС поступит менее 2 вызовов; б) за одну секунду на АТС поступит ровно три вызова; в) за три секунды на АТС поступит не менее трех вызовов.

3.6.17. В тесто кладется изюм из расчета три изюминки на булку. Найти вероятность того, что в купленной булке: а) нет ни одной изюминки; б) больше трех изюминок; в) ровно четыре изюминки. Сколько изюма надо класть в тесто, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не меньше 0,99?

3.6.18. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.

3.6.19. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,95.

3.6.20. За час в базу данных поступает в среднем 120 запросов. Найти вероятность следующего события A: за данную минуту поступит четыре запрос.

3.6.21. Данный наборщих в среднем делает одну ошибку на две страницы текста. В набранной книге взяли наугад страницу. Найти вероятности следующих событий: A – на странице нет опечаток; B – на странице больше одной опечатки.

3.6.22. В тесто положили изюм из расчета по пять изюмин на одну булку и хорошо перемешали тесто. Взяли наугад булку. Найти вероятность следующего события A: во взятой наугад одной булке есть хотя бы одна изюмина.

3.6.23. Монета подбрасывается 5 раз, X – дискретная случайная величина, равная разности между числом выпавших орлов и числом выпавших решек. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.24. На связке пять разных ключей, ровно один из которых подходит к замку. Некто по очереди вставляет ключи в замок до тех пор, пока не откроет дверь (не подошедшие ключи откладываются в сторону). Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу попыток. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.25. Среди десяти шаров имеется три черных. Наудачу выбрано два шара. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу черных шаров среди двух выбраных. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.26. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Стреляют до первого попадания в цель. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу произведенных выстрелов. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

Наши рекомендации