Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

Пример:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru , то и определитель матрицы умножится на это число Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца.

Примеры: Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ;

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Пример:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак на противоположный.

Пример:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

Пример:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Пример: Воспользуемся при вычислении свойствами 2) и 5) определителей:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru при i Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru j.

Пример: Посчитать: Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru = 0 для данной матрицы

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru . Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru =

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

8) Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Пример: Вычислить определитель матрицы С и матрицы С Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru , полученной из матрицы С прибавлением ко второй строке матрицы С ее первой строки, умноженной на число -2:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Воспользуемся уже полученным результатом определителя матрицы С:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Преобразуем матрицу С согласно свойству: Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Теперь вычислим определитель получившейся матрицы:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

9) Сумма произведений произвольных чисел Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru , Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ,…, Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равны определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

10) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru , где Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru А и В – матрицы n-го порядка.

Пример: вычислить с помощью свойств определителя определитель матрицы В четвертого порядка

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Решение:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Правило нахождения определителей второго порядка можно записать в виде формулы:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Вычислить определители 2-го порядка матриц:

а) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; б) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; в) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; г) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

2) Для вычисления определителей третьего порядка используют правило Сарруса или правило треугольников, которое проще запоминается в виде следующих схем:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru (+) (главная диагональ)     Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru   Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru (-) (другая диагональ)

Вычислить определители 3-го порядка матриц по правилу Сарруса:

а) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; б) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; в) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ;

3) Для вычисления определителей 4-го и более высокого порядка используют правило вычисления определителя методом разложения по элементам строки или столбца (по теореме Лапласа): определитель равен сумме произведений всех элементов какого-либо столбца (или строки) на соответствующие им алгебраические дополнения. Обычно вычисление проводится по элементам 1-й строки.

Можно использовать теорему Лапласа и для вычисления определителей 3-го порядка, когда разложение по первой строке имеет вид:

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

Вычислить определители 4-го и 3-го порядков:

а) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; б) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; в) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ;

г) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; д) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru ; е) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Замечание: Для сокращения вычислений удобно определитель раскладывать по элементам той строки или столбца, где содержится наибольшее количество нулей.

В этом случае нужно находить алгебраическое дополнения к элементам, равным 0; если же строки или столбцы не содержат достаточного количества нулей, то удобно провести эквивалентные преобразования. Используют правило: если ко всем элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); умноженные на одно и то же число; то определитель не изменяется.

III. «РАНГ МАТРИЦЫ»

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размераДля упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

В матрице А размера Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru (меньшего из т и п). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Один элемент матрицы называют минором первого порядка.

Из матрицы А размером Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru можно получить подматрицы 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Пример: Выделим указанные подматрицы из данной матрицы Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru и запишем их миноры.

Решение:

Некоторые подматрицы первого порядка А Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru = Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

некоторые подматрицы второго порядка А Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru = Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru

некоторые подматрицы третьего порядка А Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru = Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A или r(A)

Из определения следует:

1) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru т.е., не превосходит меньшего из ее размеров;

2) Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;

3) для квадратной матрицы п-го порядка Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная, т.е., ее определитель не равен нулю.

Пример: Вычислить Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru , если

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Решение: Начнем с перебора миноров третьего порядка.

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru Таким образом, согласно определения ранга матрицы, можем сделать вывод, что ранг данной матрицы равен 3, т.е., Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей. - student2.ru .

Замечание: В данном случае вычисление уже первого минора третьего порядка привело к искомому результату. В общем же случае определение ранга матрицы перебором миноров всех возможных порядков достаточно трудоемко.

Для упрощения решения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1)отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

5)транспонирование матрицы.

ТЕОРЕМА 1:Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Наши рекомендации