Определение определителя квадратной матрицы.
Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, - тесно связана с решением систем линейных уравнений. Именно определитель квадратной матрицы системы дает
ответ на вопрос, имеет ли решение система уравнений.
Определитель матрицы А обозначается или .
Определителем квадратной матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется число : .
Пример: Вычислить определитель квадратной матрицы первого порядка .
Решение:
Определителем квадратной матрицы второго порядка где i=j=1,2, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Пример: Вычислить определители матриц второго порядка А= В=
Решение:
Определителем матрицы третьего порядка А= где i=j=1,2,3, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определитель третьего порядка удобно вычислять, пользуясь правилом Сарруса или правилом треугольников:
(+) (главная диагональ) | (-) (другая диагональ) |
Пример: Вычислить определители квадратных матриц третьего порядка
А= В=
Решение:
Определение определителя квадратной матрицы n-го порядка, n >3, весьма громоздко и требует введения новых сложных понятий. Поэтому рассмотрим достаточно доступный способ вычисления определителя n-го порядка, где .
Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)–го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки i и столбца j.
Например, минором элемента матрицы А третьего порядка является определитель второго порядка, получаемый вычеркиванием второй строки и третьего столбца:
Пример: Для данной матрицы А = записать миноры элементов .
Решение:
; .
Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :
Пример: Записать алгебраические дополнения элементов матрицы А= .
Решение: Воспользуемся уже найденными минорами этих элементов.
; ;
; .
Т.е., минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента матрицы могут либо совпадать (если сумма индексов есть число четное), либо быть числами противоположными (если сумма индексов есть число нечетное).
Важное значение для вычисления определителей n-го порядка, где . имеет следующая теорема:
Теорема (частный случай теоремы Лапласа):
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Указанные в теореме разложения выглядят следующим образом:
а) по элементам i строки , i=1,…,n:
б) по элементам j столбца, j=1,…,n:
Значение теоремы Лапласа состоит в том, что эта теорема позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1) –го порядка.
Пример: Вычислить определитель четвертого порядка по теореме Лапласа
Решение:
Замечание: С помощью теоремы Лапласа можно вычислять и определитель третьего порядка.
Пример: Вычислить по теореме Лапласа определитель матрицы третьего порядка
.
Решение:
Свойства определителей.