ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг.

ТЕОРЕМА 2:Какую-либо ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к матрице ступенчатого вида.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , где ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

Замечания: 1. Условие ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , т.е., количество строк не больше количества столбцов, всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

2. Если в ступенчатой матрице количество строк равно количеству столбцов, то такую матрицу называют треугольной.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , т.к. имеется минор ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru -го порядка, не равный нулю:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .

Таким образом, с помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга несложно, т.к., для этого достаточно посчитать количество строк матрицы ступенчатого вида.

Пример: Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований (выбранные строки или столбцы нумеруем с помощью римских цифр, выполняемые преобразования записываем напротив выбранных строк или столбцов)

Решение: Выполняем элементарные преобразования

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Проверить, что ранги указанных матриц равны 2, 3, 2, 1

соответственно: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

2. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг указанных матриц:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

IV. «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА».

Определение: Матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru называется обратной по отношению к квадратной матрице ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , если при умножении матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru на матрицу ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru как справа, так и слева, получается единичная матрица: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru

Замечание: Только квадратная матрица имеет обратную. Матрица, обратная данной, тоже квадратная.

Определения: 1. Если определитель матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ≠ 0, то матрица называется невырожденной или неособенной.

Если определитель матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru =0, то матрица называется вырожденной или особенной.

2. Присоединенная матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , получается из матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , транспонированной по отношению к матрице ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , заменой элементов матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru на их алгебраические дополнения.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):

Обратная матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru невырожденная, т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru . Ее элементы вычисляются по формуле: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .

Алгоритм построения обратной матрицы 1. Вычислим определитель данной матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru . Если ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , то для данной матрицы не существует обратной. 2. Если ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , строим матрицу ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , транспонированную по отношению к матрице ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , заменяя строки матрицы А ее столбцами. 3. Строим присоединенную матрицу ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , заменяя элементы матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru их алгебраическими дополнениями по формуле ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru 4. Вычисляем обратную матрицу по формуле ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru 5. При необходимости проверяем правильность вычисления обратной матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru , исходя из ее определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .


Пример: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru . Найти ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru данная матрица имеет обратную.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru . Получили присоединенную матрицу: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти матрицу, обратную данной:

1) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; 3) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; 5) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ;

2) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; 4) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ; 6) ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru .

Проверить для матриц B и D правильность нахождения обратной матрицы (должны быть верными равенства: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг. - student2.ru ).


Наши рекомендации