Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
В этом параграфе рассматриваются ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными. Пусть дан знакопеременный ряд:
. (2.1)
Рассмотрим, наряду с этим, ряд из абсолютных величин членов ряда (2.1):
. (2.2)
Определение 2.1. Ряд (2.1) с членами произвольных знаков называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2.2) из модулей членов ряда (2.1).
Теорема 2.1. Абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
►По условию, ряд (2.1) абсолютно сходящийся. Это означает, что сходится ряд (2.2). Рассмотрим два вспомогательных ряда:
, (2.3)
.(2.4)
Ряды (2.3) и (2.4) – ряды с неотрицательными членами, так как в силу свойств абсолютных величин имеем |an| ³ anи |an| ³ -an. С другой стороны, и . Но тогда по признаку сравнения ряды (2.3) и (2.4) сходятся, ибо сходится ряд , и, следовательно, по свойству 2 рядов (гл. 1, § 3) сходится и ряд . ◄
Замечание 2.1. Доказанная теорема необратима. Может оказаться, что ряд знакопеременный ряд (2.1) сходится, а ряд (2.2), составленный из модулей членов ряда (2.1), расходится.
Определение 2.2. Если знакопеременный ряд (2.1) сходится, а ряд (2.2), составленный из модулей членов ряда (2.1), расходится, то данный знакопеременный ряд (2.2) называется условно сходящимся.
Определение 2.3.Ряд
u1 + u2 + ¼ + un + ¼ (2.4)
называется знакочередующимся, если неравенство un×un+1 < 0 верно для любого n Î N, т. е. если соседние члены ряда имеют различные знаки.
Пусть для определённости u1>0. Станем обозначать через anмодуль n-го члена ряда. Тогда знакочередующийся ряд (2.4) запишется в виде
. (2.5)
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий и практически удобный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.
Теорема 2.2(признак Лейбница). Если модули членов знакочередующегося ряда (2.5) монотонно убывают, т.е. a1 ³ a2 ³ a3 ³ ¼ ³ an ³ ¼ , а при , то ряд (2.5) сходится.
Замечание 2.2.Обращаемвнимание читателя на то, что для применения признака Лейбница ряд должен удовлетворять трём условиям:
1) ряд должен быть знакочередующимся;
2) модуль общего член ряда должен стремиться к нулю при n ® ¥.
3) модуль члена ряда должен монотонно убывать с ростом его номера;
Каждое из этих условий необходимо проверить. Нарушение хотя бы одного из них может привести к неверному выводу о сходимости ряда.
Пример 2.1.Доказать что сходится знакочередующийся ряд
. (2.6)
► Поскольку 0 при , монотонно убывая, то данный ряд сходится по признаку Лейбница. ◄
Так, знакочередующийся ряд сходится (пример 1.1), а ряд , составленный из модулей его членов, расходится. Следовательно, ряд сходится условно.
Все сходящиеся ряды можно разделить на два класса: абсолютно сходящиеся ряды и условно сходящиеся ряды. Отметим, что все сходящиеся ряды с неотрицательными членами входят в класс абсолютно сходящихся рядов.
Для установления абсолютной сходимости знакопеременного ряда к ряду из модулей членов этого ряда можно применить признаки сходимости, установленные для рядов с неотрицательными членами. Но нужно помнить, что из расходимости ряда не всегда следует расходимость ряда . Ряд может сходиться условно.
Замечание 2.3. Пусть с помощью признака Даламбера установлено, что знакопеременный ряд абсолютно не сходится, тогда модули его членов монотонно возрастают (замечание 4.2, гл. 2). Итак, в этом случае общий член знакопеременного ряда не может стремиться к нулю с возрастанием номера.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают целым рядом свойств, присущих конечным суммам.