Абсолютная и условная сходимость.

Перейдём теперь к рядам с членами, имеющими любой знак. С каждым таким рядом

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru (1)

связан ряд с неотрицательными членами, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru (2)

Определение.Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если ряд (2) сходится. Если же ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

.

Функциональные ряды.

Будем рассматривать ряды, членами которых являются не числа, а функции:

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru (1)

Такие ряды называются функциональными.

Например, ряд

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru

является функциональным.

Если в ряде (1) положим абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , где абсолютная и условная сходимость. - student2.ru - значение из области определения функций абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , то получим числовой ряд

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru (2)

Если ряд (2) сходится, то абсолютная и условная сходимость. - student2.ru называется точкой сходимостиряда (1). Если же ряд (2) расходится, то точка абсолютная и условная сходимость. - student2.ru называется точкой расходимости ряда (1).

Определение.Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядомназывается функциональный ряд вида

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , (1)

где абсолютная и условная сходимость. - student2.ru - действительные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

А) Если степенной ряд сходится лишь в точке абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , то он относится к рядам первого класса.

Например, ряд

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru (2)

относится к рядам первого класса. Зафиксируем абсолютная и условная сходимость. - student2.ru и рассмотрим числовой ряд

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru

По признаку Даламбера

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru = абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru = абсолютная и условная сходимость. - student2.ru

и ряд расходится при всех абсолютная и условная сходимость. - student2.ru . Следовательно, ряд (2) сходится только при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Б)Если ряд (1) сходится на всей числовой прямой, то он относится к рядам второго класса.

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru Например, применив признак Даламбера при фиксированном абсолютная и условная сходимость. - student2.ru нетрудно убедится, что к рядам второго класса относится ряд

В)Ряд (1), не принадлежит первому и второму классам, относят к рядам третьего класса.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , то он абсолютно сходится для любого абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , удовлетворяющего условию

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru ;

если же степенной ряд (1) расходится при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , то он расходится и при любом абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , удовлетворяющем условию абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Следствие.Для каждого степенного ряда (1) третьего класса существует число абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , называемое радиусом сходимостиэтого ряда, для которого выполняется условия: при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru ряд (1) сходится абсолютно, при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru ряд (1) расходится.

Промежуток абсолютная и условная сходимость. - student2.ru называется интервалом сходимостистепенного ряда. Для степенного ряда (1) второго класса интервал сходимости абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Областью сходимостистепенного ряда (1) является интервал абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , к которому в отдельных случаях добавляется один или оба конца этого интервала (это исследуется для конкретных рядом при абсолютная и условная сходимость. - student2.ru и абсолютная и условная сходимость. - student2.ru ).

Для степенного ряда (1) первого класса полагают абсолютная и условная сходимость. - student2.ru ; для степенного ряда (1) второго класса абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Теорема 2. Пусть для степенного ряда (1) существует и отличен от нуля предел

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

б) абсолютная и условная сходимость. - student2.ru . Имеем ряд абсолютная и условная сходимость. - student2.ru = абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Тогда

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru

Поэтому абсолютная и условная сходимость. - student2.ru абсолютная и условная сходимость. - student2.ru не существует и ряд абсолютная и условная сходимость. - student2.ru расходится.

Итак, область сходимости ряда абсолютная и условная сходимость. - student2.ru .

Основные понятия.

Дифференциальным уравнениемназывается соотношение, связывающее независимую переменную абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , искомую функцию абсолютная и условная сходимость. - student2.ru и её производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядкомданного уравнения. Следовательно, общий вид ДУ n-го порядка следующий.

абсолютная и условная сходимость. - student2.ru =0. (1)

Например, уравнения

а) абсолютная и условная сходимость. - student2.ru б) абсолютная и условная сходимость. - student2.ru

соответственно ДУ 1-го и 2-го порядков.

Функция абсолютная и условная сходимость. - student2.ru , которая при подстановке её в уравнение (1) обращает это уравнение в тождество, называется решениемэтого уравнения.

Наши рекомендации