Список основных свойств равномерно сходящихся рядов
Если функциональный ряд сходится к функции равномерно при , то
1. Сумма ряда является непрерывной функцией
2. Функциональный ряд можно почленно интегрировать, в результате получается ряд с суммой, равной интегралу от суммы исходного ряда
3. Если ряд сходится равномерно для , то исходный функциональный ряд можно почленно дифференцировать,т.е.
На практике для определения равномерной сходимости рядов применяется достаточный признак Вейерштрасса:
Если для функционального ряда , можно указать знакоположительный числовой сходящийся ряд , такой, что выполняется неравенство , то функциональный ряд на множестве Х сходится равномерно.
При этом числовой ряд называется мажорантой для функционального ряда , а функциональный ряд называется мажорируемым.
Краткая формулировка признака Вейерштрасса:
Если функциональный ряд является мажорируемым на некотором множестве, то он сходится равномерно на этом множестве.
Для мажорируемых рядов есть еще термин правильно сходящиеся ряды.
Пример:
является мажорантой для данных функциональных рядов данные функциональные ряды сходятся равномерно .
Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости. Радиус сходимости.
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд,членами которого являются степенные функции с натуральным показателем (или равным нулю).
Общий вид степенного ряда:
- степенной ряд по степеням разности ,
где - фиксированное число,
называются коэффициентами степенного ряда ( числа )
Частный случай, когда :
- степенной ряд по степеням .
Теорема Абеля(важнейшая теорема для определения области сходимости степенного ряда):
Если ряд сходится в точке , то он сходится, причем абсолютно, при .
Если ряд расходится в точке , то он расходится при .
Иллюстрация к теореме Абеля:
x=0 – тривиальная точка сходимости степенного ряда
Понимание (обоснование) теоремы Абеля строится на использовании для знакоположительных числовых рядов признака сравнения в непредельной форме.
Следствие из теоремы Абеля:
R
R – радиус сходимости степенного ряда.
Таким образом для степенного ряда можно указать число , называемое радиусом сходимости, такое что область абсолютной сходимости этого ряда представляет собой интервал , симметричный относительно 0 и длины 2R;при этом на интервалах и ряд всегда расходится; точки (точки концов этих интервалов) нужно исследовать для каждого ряда индивидуально.
Схема области сходимости/расходимости степенного ряда (теоретическая):
Аналогично получается теоретическая схема сходимости/расходимости общего степенного ряда
- центр области сходимости.
Радиус сходимости R может оказаться:
1. R=0
2. R=число
3. R=
Примеры:
Определить область сходимости и область расходимости следующих степенных рядов:
Так как степенной ряд по степеням х, то схема его области сходимости имеет вид:
Для вычисления R применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда:
По признаку Даламбера:
Ряд из модулей
исходный степенной ряд сходится абсолютно, только при (признак абсолютной сходимости).
Сравнивая получившиеся результаты с теоретической схемой, заключаем, что:
1. R=1, так как исходный ряд сходится абсолютно только при
2. при абсолютной сходимости быть не может, так как расходится ряд из модулей; сравнивая со схемой, получаем, что - это область расходимости.
Дополнительно исследуем сходимость исходного ряда при :
- ряд Лейбница, сходится условно.
- гармонический ряд, расходится.
Окончательная схема области сходимости/расходимости исходного ряда:
Ответ:
Замечание: если признак Даламбера или радикальный признак Коши применить к степенному ряду в общем виде , то можно получить теоретические формулы для нахождения радиуса сходимости R.
Ряд из модулей:
Признак Даламбера: ряд из модулей сходится, если или расходится, если .
Теоретическая схема области сходимости/расходимости:
2R
Сравнивая результаты, полученные по признаку Даламбера с теоретической схемой, заключаем, что R нужно находить из условий:
Однако выведенные формулы для R не очень удобны на практике, так как:
1. Для их применения нужно анализировать значение
2. Для вычисления нужно, чтобы все были отличны от нуля.
Например, для применять формулы для R нельзя, так как все (нечетные) равны 0.