Список основных свойств равномерно сходящихся рядов

Если функциональный ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru сходится к функции Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru равномерно при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то

1. Сумма ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru является непрерывной функцией Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

2. Функциональный ряд можно почленно интегрировать, в результате получается ряд с суммой, равной интегралу от суммы исходного ряда

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

3. Если ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru сходится равномерно для Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то исходный функциональный ряд можно почленно дифференцировать,т.е.

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

На практике для определения равномерной сходимости рядов применяется достаточный признак Вейерштрасса:

Если для функционального ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru можно указать знакоположительный числовой сходящийся ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , такой, что выполняется неравенство Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то функциональный ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru на множестве Х сходится равномерно.

При этом числовой ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru называется мажорантой для функционального ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , а функциональный ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru называется мажорируемым.

Краткая формулировка признака Вейерштрасса:

Если функциональный ряд является мажорируемым на некотором множестве, то он сходится равномерно на этом множестве.

Для мажорируемых рядов есть еще термин правильно сходящиеся ряды.

Пример:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru является мажорантой для данных функциональных рядов Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru данные функциональные ряды сходятся равномерно Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru .

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости. Радиус сходимости.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд,членами которого являются степенные функции с натуральным показателем (или равным нулю).

Общий вид степенного ряда:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - степенной ряд по степеням разности Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru ,

где Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - фиксированное число,

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru называются коэффициентами степенного ряда ( Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru числа Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru )

Частный случай, когда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru :

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - степенной ряд по степеням Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru .

Теорема Абеля(важнейшая теорема для определения области сходимости степенного ряда):

Если ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru сходится в точке Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то он сходится, причем абсолютно, при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru .

Если ряд Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru расходится в точке Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то он расходится при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru .

Иллюстрация к теореме Абеля:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

x=0 – тривиальная точка сходимости степенного ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Понимание (обоснование) теоремы Абеля строится на использовании для знакоположительных числовых рядов признака сравнения в непредельной форме.

Следствие из теоремы Абеля:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

R

R – радиус сходимости степенного ряда.

Таким образом для степенного ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru можно указать число Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , называемое радиусом сходимости, такое что область абсолютной сходимости этого ряда представляет собой интервал Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , симметричный относительно 0 и длины 2R;при этом на интервалах Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru и Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru ряд всегда расходится; точки Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru (точки концов этих интервалов) нужно исследовать для каждого ряда индивидуально.

Схема области сходимости/расходимости степенного ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru (теоретическая):

Аналогично получается теоретическая схема сходимости/расходимости общего степенного ряда Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - центр области сходимости.

Радиус сходимости R может оказаться:

1. R=0

2. R=число

3. R= Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Примеры:

Определить область сходимости и область расходимости следующих степенных рядов:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Так как степенной ряд по степеням х, то схема его области сходимости имеет вид:

Для вычисления R применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

По признаку Даламбера:

Ряд из модулей Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru исходный степенной ряд сходится абсолютно, только при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru (признак абсолютной сходимости).

Сравнивая получившиеся результаты с теоретической схемой, заключаем, что:

1. R=1, так как исходный ряд сходится абсолютно только при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

2. при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru абсолютной сходимости быть не может, так как расходится ряд из модулей; сравнивая со схемой, получаем, что Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - это область расходимости.

Дополнительно исследуем сходимость исходного ряда при Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru :

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - ряд Лейбница, сходится условно.

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru - гармонический ряд, расходится.

Окончательная схема области сходимости/расходимости исходного ряда:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Ответ: Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Замечание: если признак Даламбера или радикальный признак Коши применить к степенному ряду в общем виде Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru , то можно получить теоретические формулы для нахождения радиуса сходимости R.

Ряд из модулей: Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Признак Даламбера: Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru ряд из модулей сходится, если Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru или расходится, если Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru .

Теоретическая схема области сходимости/расходимости:

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

2R

Сравнивая результаты, полученные по признаку Даламбера с теоретической схемой, заключаем, что R нужно находить из условий: Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

Однако выведенные формулы для R не очень удобны на практике, так как:

1. Для их применения нужно анализировать значение Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru

2. Для вычисления Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru нужно, чтобы все Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru были отличны от нуля.

Например, для Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru применять формулы для R нельзя, так как все Список основных свойств равномерно сходящихся рядов - student2.ru (нечетные) равны 0.



Наши рекомендации