Тема 1. Числовые и степенные ряды.

Тема 1. Числовые и степенные ряды.

Основные свойства числовых рядов. Приближенное вычисление суммы числового ряда

Запишем основные сведения о числовых рядах:

- (1)

- это n-я частичная сумма ряда,

- это n-й частичный остаток ряда.

Числовой ряд (1)

Число Sназывается суммой сходящегося ряда, это отражается равенством

Очевидно, что любой ряд можно записать сложением его частичной суммы и соответствующего остатка :

;

Поэтому для сходящегося ряда верно, что так как

Оценки остатков некоторых сходящихся рядов. Приближенное вычисление суммы ряда

Рассмотрим сходящийся числовой ряд:

Так как и то при достаточно больших номерах n значения частичных сумм становится сколь угодно близкими к сумме ряда S , а значения соответствующих частичных остатков сколь угодно близкими к нулю. На основании этго можно вычислять приближенное значение суммы ряда S:

, погрешность этого приближенного равенства равна , она уменьшается с увеличением .

Задача «Вычислить сумму сходящегося числового ряда приближенно с наперед заданной точностью означает, что сумму ряда нужно заменить такой частичной суммой , чтобы соответствующий отбрасываемый остаток удовлетворял условию :

с точностью , если (2)

Для практической работы по приближенной формуле (2) нужно иметь оценки для остатков сходящихся рядов.

Функциональные ряды. Определение. Понятие равномерной сходимости.

Функциональным называется ряд, членами которого являются функции, например одной переменной .

Общий вид:

где

Рассматривать ООФ функции можно на или .

Примеры функциональных рядов:

1) - степенной ряд

2) - пример тригонометрического ряда

3)

4)

Точка сходимости функционального ряда - это такое числовое значение , при котором числовой ряд является сходящимся.

Точка расходимости функционального ряда - это такое числовое значение , при котором числовой ряд является расходящимся.

Область сходимости функционального ряда – это множество всех его точек сходимости.

Область расходимости функционального ряда – это множество всех его точек расходимости.

Пример:

- точка сходимости, так как очевидно сходится.

- точка сходимости, так как - сходится абсолютно.

…

- область сходимости данного ряда

- область расходимости.

Сумма функционального ряда:

Рассмотрим функциональный ряд в области его сходимости:

области сходимости ряда сумма ряда

области сходимости ряда, так что области сходимости.

Пример:

, т.е. функция может быть представлена сходящимся степенным рядом.

Связь суммы функционального ряда с его частичной суммой:

Рассмотрим сходящийся функциональный ряд:

- п-я частичная сумма ряда,

- п-ый частичный остаток

области сходимости

области сходимости

с погрешностью , при этом определить количество членов ряда n придется различным способом для различных х.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд,членами которого являются степенные функции с натуральным показателем (или равным нулю).

Общий вид степенного ряда:

- степенной ряд по степеням разности ,

где - фиксированное число,

называются коэффициентами степенного ряда ( числа )

Частный случай, когда :

- степенной ряд по степеням .

Теорема Абеля(важнейшая теорема для определения области сходимости степенного ряда):

Если ряд сходится в точке , то он сходится, причем абсолютно, при .

Если ряд расходится в точке , то он расходится при .

Иллюстрация к теореме Абеля:

x=0 – тривиальная точка сходимости степенного ряда

Понимание (обоснование) теоремы Абеля строится на использовании для знакоположительных числовых рядов признака сравнения в непредельной форме.

Следствие из теоремы Абеля:

R

R – радиус сходимости степенного ряда.

Таким образом для степенного ряда можно указать число , называемое радиусом сходимости, такое что область абсолютной сходимости этого ряда представляет собой интервал , симметричный относительно 0 и длины 2R;при этом на интервалах и ряд всегда расходится; точки (точки концов этих интервалов) нужно исследовать для каждого ряда индивидуально.

Схема области сходимости/расходимости степенного ряда (теоретическая):

Аналогично получается теоретическая схема сходимости/расходимости общего степенного ряда

- центр области сходимости.

Радиус сходимости R может оказаться:

1. R=0

2. R=число

3. R=

Примеры:

Определить область сходимости и область расходимости следующих степенных рядов:

Так как степенной ряд по степеням х, то схема его области сходимости имеет вид:

Для вычисления R применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда:

По признаку Даламбера:

Ряд из модулей

исходный степенной ряд сходится абсолютно, только при (признак абсолютной сходимости).

Сравнивая получившиеся результаты с теоретической схемой, заключаем, что:

1. R=1, так как исходный ряд сходится абсолютно только при

2. при абсолютной сходимости быть не может, так как расходится ряд из модулей; сравнивая со схемой, получаем, что - это область расходимости.

Дополнительно исследуем сходимость исходного ряда при :

- ряд Лейбница, сходится условно.

- гармонический ряд, расходится.

Окончательная схема области сходимости/расходимости исходного ряда:

Ответ:

Замечание: если признак Даламбера или радикальный признак Коши применить к степенному ряду в общем виде , то можно получить теоретические формулы для нахождения радиуса сходимости R.

Ряд из модулей:

Признак Даламбера: ряд из модулей сходится, если или расходится, если .

Теоретическая схема области сходимости/расходимости:

2R

Сравнивая результаты, полученные по признаку Даламбера с теоретической схемой, заключаем, что R нужно находить из условий:

Однако выведенные формулы для R не очень удобны на практике, так как:

1. Для их применения нужно анализировать значение

2. Для вычисления нужно, чтобы все были отличны от нуля.

Например, для применять формулы для R нельзя, так как все (нечетные) равны 0.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Рассматриваем функцию - дифференцируемая сколько угодно раз в точке и некоторой ее окрестности .

Рядом Тейлора для функции в точке называется следующий числовой ряд:

, (1)

в котором коэффициенты вычислены через функцию по следующим формулам:

,

,

.

…

Рядом Маклорена для функции называется частный случай ее ряда Тейлора в точке =0:

(2)

,

,

.

…

Название для рядов (1) и (2) сохраняются независимо от их сходимости/расходимости и даже в случае, если ряды сходятся не к функции .

Если ряд Тейлора (Маклорена) сходится в некоторой области к функции , то справедливо равенство:

области сходимости ряда Тейлора. (3)

В этом случае это равенство называется разложением функции в ряд Тейлора в точке .

Замечание: так как ряд Тейлора – это есть степенной ряд по степеням , его область сходимости записывается неравенством , R – радиус сходимости. Так как это неравенство описывает , то разложение функции в ее ряд Тейлора справедливо в точке и некоторой ее окрестности .

Пример:

Составить разложение функции в ряд Тейлора в точке . Найти окрестность , в которой составленный ряд находится.

Решение:

Хотим получить следующее разложение:

,

где .

Разложение должно быть верно по окрестности , т.е. при .

1. Вычислим коэффициенты Тейлора:

Составляем ряд Тейлора:

2. Зная, что составленный степенной ряд сходится абсолютно при , вычислим R, применяя признак Даламбера к ряду из модулей:

составленный степенной ряд сходится при и его .

3. Составленный ряд сходится при , но остается недоказанным, что его сумма .

Поэтому ответ по задаче остается неполным.

Ответ: сходится абсолютно при .

Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа:

Можно показать, что:

1. Остаток ряда Тейлора записывается в нескольких конечных формах, наиболее распространенной из этих форм является форма Лагранжа:

, где - некоторая фиксированная точка между точкой и точкой х.

2R

2. Достаточным условием для того, чтобы составленный ряд Тейлора сходился именно к той функции, для которой он составлялся, является условие , где записано в форме Лагранжа.

Пример:

,

, где - некоторая фиксированная точка слева или справа от (между х и ).

, так как при , т.е. степенная функция с любым основанием при увеличении ее основания растет медленнее, чем факторная ее показателя (будет обосновано позже).

Таким образом, ряд сходится,

- это равенство называется разложением в ряд Тейлора в точке (или по степени ).

Замечания к разложениям функций в ряды Тейлора:

1. Необходимым условием для разложения функции в ряд Тейлора является существование и непрерывность в точке и производных любого порядка, т.е. функция должна быть непрерывно дифференцируемой бесконечное количество раз в точке и .

- такую функцию в точке в ряд Тейлора разложить нельзя, так как не ( но в точке и других точках - можно)

разложение функции в степенной ряд в точке это локальная процедура, так как она выполняется только по некоторой окрестности

2. Если в точке разлагается в степенной ряд, то это разложение является единственным и совпадает с ее разложением в ряд Маклорена.

Доказательство:

Пусть имеет разложение в ряд по степеням :

,

Это равенство справедливо при всех х из промежутка сходимости, следовательно, справедливо при , при

Так как степенные ряды можно почленно дифференцировать, то справедливо равенство:

,

при .

Аналогично, повторяя дифференцирование разложения в ряд и полагая , получим

Для произвольно взятого разложения функции в степенной ряд доказали, что его коэффициенты неизбежно совпадают с коэффициентами Тейлора разложение в степенной ряд единственно и совпадает с разложением Тейлора.

3. Достаточным условием для того, чтобы ряд Тейлора сходился к является условие:

Обоснование этого факта для конкретной функции является, как правило, затруднительным, поэтому в приложениях стараются получить разложение функции в степенной ряд, используя так называемые стандартные разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. При этом и промежуток сходимости и сумма ряда получаются автоматически.

Тема 1. Числовые и степенные ряды.