Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями одной или
нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.

Рассмотрим функциональный ряд , члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке . Если соответствующий числовой ряд сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда (где − сумма числового ряда), то точка называется точкой сходимости функционального ряда . Если числовой ряд расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.

Определение 2. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается . Отметим, что R.

Функциональный ряд сходится в области , если для любого он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией . Это так называемая предельная функция последовательности : .

Как находить область сходимости функционального ряда ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда составляем и рассматриваем предел при фиксированном х: . Тогда является решением неравенства и решением уравнения (берём только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды сходятся).

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Обозначим , . Составим и вычислим предел , тогда область сходимости ряда определяется неравенством и уравнением . Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:

а) если , , то получается расходящийся ряд ;

б) если , , то ряд сходится условно (по

признаку Лейбница, пример 1, лекция 3, разд. 3.1).

Таким образом, область сходимости ряда имеет вид: .

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд , где .

Определение 3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где − постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням . Любой числовой ряд является
частным случаем степенного ряда при .

Рассмотрим частный случай степенного ряда при : . Выясним, какой вид имеет
область сходимости данного ряда .

Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х, для которого справедливо неравенство .

2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х, для которого .

Доказательство. 1) По условию степенной ряд сходится в точке ,

т. е. сходится числовой ряд

(1)

и по необходимому признаку сходимости его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом: .

Рассмотрим теперь любое х, для которого , и составим ряд из абсолютных величин: .
Запишем этот ряд в другом виде: так как , то (2).

Из неравенства получаем , т.е. ряд

(3)

состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . Следовательно, ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится.

2) Пусть ряд расходится при , иными словами,

расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х ( ) ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором

фиксированном ( ) ряд сходится, тогда он сходится при всех (см. первую часть данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то
бесконечные интервалы заполнены точками расходимости (рис. 1).

Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда

Можно показать, что существует такое число , что при всех степенной ряд абсолютно сходится, а при − расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то .

Определение 4. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.

Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд и обозначим .

Составим ряд из абсолютных величин его членов:

и применим к нему признак Даламбера.

Пусть существует

,

где

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как .
Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:

,

где − коэффициенты степенного ряда.

Если окажется, что предел , то полагаем .

Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения .

Определение 5. Обобщенным степенным рядом называется ряд вида

. Его также называют рядом по степеням .
Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: , где − радиус сходимости.

Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда.

,

т.е. , где .

Если , то , и область сходимости R; если , то и область сходимости .

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Обозначим . Составим предел

.

Решаем неравенство: , , следовательно, интервал

сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости:
а) , , получаем ряд , который расходится;
б) , , получаем ряд , который сходится
условно. Таким образом, область сходимости: , .

Ответ: область сходимости .

Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости .

Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости .