Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.
.
Составим характеристическое уравнение 
. Оно имеет два различных корня 
, 
. Поэтому общее решение однородного уравнения 
имеет вид 
.
Правую часть уравнения 
представим в виде 
, где 
, 
. Комплексное число 
не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение заданного уравнения запишется в виде 
.
Для определения А и В найдем 
.
Дальнейшие вычисления оформим следующим образом. Расположим 
в столбик, слева от них расположим коэффициенты исходного уравнения, после чего составим систему уравнений относительно А и В, приравнивая коэффициенты при 
. (на 
можно сократить). Левой и правой части исходного уравнения. .
Частное решение запишем 
, или 
.
Общее решение неоднородного уравнения будет
Решить однородное дифференциальное уравнение высшего порядка.
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
,
поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид 
9). Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), удовлетворяющее начальным условиям.
Характеристическое уравнение данного уравнения дифференциального уравнения 
имеет корни 
, , поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 
имеет вид 
Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения 
будем искать в виде, 
где постоянные 
заменим неизвестными функциями 
и 
. Неизвестные функции 
. Найдем из системы Лагранжа
, где 
, 
т.е
Систему решаем методом Гаусса. Вычтем из 2-го уравнения первое, получим
, откуда 
. Интегрируя, найдем
Итак, 
найдем из первого уравнения системы.
, или 
, т.е 
;
Интегрируя, имеем:
;
или 
.
Общее решение исходного неоднородного уравнения будет 
;
или 
.
Решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях.
Решить эту систему, означает найти 
- неизвестные функции от 
, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений и начальными условиям 
.
Нормальную систему можно привести к одному уравнению 2-го порядка относительно одной функции, скажем 
.
Дифференцируем первое уравнение системы по :
. Вместо 
подставим выражение 
из 2-го уравнения системы 
.
Вместо z подставим выражение 
из первого уравнения системы, получим 
, откуда 
.
Характеристическое уравнение данного однородного дифференциального уравнения 
имеет корни , 
, поэтому общее решение уравнения имеет вид 
.
Чтобы найти функцию 
, подставим в 1-е уравнение системы
выражение 
и 
.
, или 
,
откуда 
.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
;
Подставляя начальные условия, 
определим контакты
. 
Итак, частные решения, удовлетворяющие начальным условиям, имеет вид
Контрольная работа №7
Ряды. Кратные интегралы.
Задание 1.Исследовать на сходимость, применяя признаки сравнения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 2.Исследовать на сходимость ряды, применяя признак Коши (радикальный).
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
Задание 3.Исследовать на сходимость, применяя признак Даламбера.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 4.Исследовать на сходимость, применяя интегральный признак Коши.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
Задание 5.Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 6.Определить радиус, интервал сходимости и выяснить поведение ряда на концах интервала сходимости.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 7.Разложить функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 8.Проинтегрировать, применяя разложение в ряд.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 9.Решить уравнения с помощью степенного ряда.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 10.Вычислить с точностью до 0,0001.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 11. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями.
1. 
, D: 
.
2. 
, D: 
.
3. 
, D: 
.
4. 
, D: 
.
5. 
, D: 
.
6. 
, D: 
.
7. 
, D: 
.
8. 
, D: 
.
9. 
, D: .
10. 
, D: 
.
11. 
, D: 
.
12. 
, D: 
.
13. 
, D: 
.
14. 
, D: 
.
15. 
, D: 
.
16. 
, D: 
.
17. 
, D: 
18. 
, D: 
.
19. 
, D: 
.
20. 
, D: 
.
21. 
, D: .
22. 
, D: 
.
23. , D: .
24. 
, D: 
.
25. , D: 
.
26. 
.]
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 12. Вычислить двойной интеграл, используя переход к полярным координатам.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
27. 
28. 
.
29. 
.
30. 
Задание 13. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной указанными линиями.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
9. 
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. .
24. 
.
25. .
26. 
27. 
28. 
29. 
.
30. 
Задание 14. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
21. 
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
29. .
30. 
.
Задание 15. Вычислить массу неоднородной пластинки D, ограниченной указанными линиями, если поверхностная плотность в каждой её точке равна 
1. 
2. 
3. 
.
4. 
.
5. 
6. 
7. 
.
8. 
.
9. 
10. 
11. 
.
12. 
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. 
.
17. 
18. 
19. 
20. 
.
21. 
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
27. 
28. 
29. 
Задание 16. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле 
, если область интегрирования V ограничена заданными поверхностями. Начертите область V.
1. 
.
2. 
.
3. 
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. 
.
15. 
.
16. .
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
29. 
30. 
.
Задание 17. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную указанными поверхностями.
1. 
2. 
3. 
.
4. 
5. 
.
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
.
18. 
19. 
20. 
21. 
.
22. 
.
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30.