Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными
Определение:Дифференциальное уравнение с разделяющи-мися переменными имеет вид
Алгоритм решения:
1) Разделим переменные:
2) Интегрируем обе части равенства: ,
после чего находим общее решение данного дифференциального уравнения в виде
Пример 1: Найти общеерешение дифференциального уравнения: соs2y·ctgxdx + sin2x tgydy=0.
Решение:
Разделим на cos2y·sin2y
, переменные разделены.
Проинтегрируем обе части полученного равенства.
Интегралы находим методом подстановки.
или
Произведя обратную подстановку, получим:
или Отсюда,
Ответ: - общее решение уравнения.
Пример 2:Найти частное решение дифференцированного уравнения первого порядка
Решение:
Производим разделение переменных:
Интегрируя обе части равенства, получаем:
Используя начальное условие, вычислим, соответствующее ему значение постоянное С:
Поэтому частное решение исходного дифференцированного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид:
Ответ:
Однородные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение:Однородной функцией переменных x и y называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.
Например, - однородные функции второй и третьей степени соответственно.
Определение:Уравнение вида , где и - однородные функции одной и той же степени, называетсяоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными подстановкой, где – новая искомая функция.
Пример 1: Найти общее решение уравнения
.
Решение:Положим . Дифференцируя равенство y = ux, получим . Подставляя выражения в уравнение, получим:
Разделим переменные в полученном уравнении.
;
Интегрируем, . Отсюда, .
Сделаем обратную замену: , получим .
Ответ: .
Линейные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Определение:Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.В частном случае f (x)и (х) могут быть постоянными величинами.
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.
Алгоритм решения:
1) Вводится подстановка , тогда .
2) Исходное уравнение принимает вид:
.
3) Группируются слагаемые при u.
.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим .
5) Полученное значение v подставляется в выражение:
.
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию .
6) Общее решение уравнения запишется в виде:
.
Пример 1: Найти общее решение уравнения .
Решение:Обозначим , тогда .
Уравнение примет вид .
Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим .
Выражение в скобках приравняем к нулюv′ - vtgx = 0
Перепишем в виде
Умножая обе части уравнения на , получим ,
интегрируем
находим , применим замену
получим ,
откуда или , .
Пропотенцируем обе части равенстваv = .
Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение
du = sinx∙cos∙xdxили
Интегрируем ,
Получим .
Ответ:Общее решение уравнения у = .
Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
Решение: Пусть , тогда .
Отсюда, .
Вынесем u за скобки: .
Приравняв скобку к 0 , получим: .
Отсюда, , .
Интегрируем ,
, , .
Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его.
, , , .
Проинтегрируем . Функция .
Запишем общее решение уравнения : .
Частное решение найдем из условия при .
, , .
Частное решение заданного уравнения имеет вид: .
Ответ: - частное решение уравнения.
Понятие числового ряда.
Определение:Числовым рядом называется выражение вида ,
где числа – называются членами ряда, член – общим членом ряда.
Рядом Тейлора для функции f(x) в точке х0 называется ряд вида
при х0 = 0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена
При выполнении приближённых вычислений с помощью рядов:
1) Разложить данную функцию в ряд Тейлора или в ряд Маклорена;
2) Определить, сколько членов ряда надо взять, чтобы получить значение с требуемой точностью;
3) Выполнить вычисления.
Пример 1: Вычислить число е, т.е. значение функции ех при х = 1, с точностью 0,001 (если известно, что )
Решение:
Имеем ,
тогда ,
причём абсолютная погрешность этого приближения равна , где
При х = 1 получаем .
При этом , где .
Но так как .
Число n определим из неравенства
Имеем:
Достаточно взять n = 6, так как (6 + 1)! = 7! = 5040 3000. Следовательно
Ответ:e