Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Условия вариантов задачи

Ниже приведены 40 вариантов задачи 2. Номер варианта задачи, которую студент должен решить, указан в индивидуальном задании.

В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru
Методические указания

Вероятность суммы (объединения) двух произвольных случайных событий (т.е. тех, которые могут происходить совместно) равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2.1)

Для трех произвольных событий:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru (2.2)

Для n произвольных событий:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2.3)

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет. В противном случае события являются зависимыми.

Условной вероятностью Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru называется вероятность события В, вычисленная при условии (в предположении), что событие А произошло. Для независимых событий Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Вероятность произведения (пересечения) двух случайных событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2.4)

Для независимых событий

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2.5)

Вероятность произведения n произвольных событий Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru равна

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru (2.6)

где Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ) – условная вероятность появления события Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , при условии, что события Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru в данном опыте произошли, Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2.7)

Примеры

Пример 2.1. Вычислительная машина (ВМ) состоит из n блоков. Вероятность безотказной работы в течении времени Т (надежность) первого блока равна p1 , второго – p2 , и т.д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого блока отказывает ВМ. Найти вероятность того, что ВМ откажет за время Т.

Решение. Рассмотрим события А1 – отказывает 1-й блок, А2 – отказывает 2-й блок и т.д.. Пусть событие В – отказ вычислительной машины. Это событие произойдет тогда, когда выполнится или событие А1 , или событие А2 и т.д.. Видим, что следует применять теорему о сумме или объединении n произвольных событий, формула (2.3):

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

События Ai являются независимыми, поэтому правая часть запишется в виде:

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Вероятности противоположных событий Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru (здесь событие Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ‑ i-й блок работает) даны в условии, т.е. Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru Окончательно получаем

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Пример 2.2. Дана схема электрической цепи (рис. 2.1).

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Рис. 2.1

Вероятности работы элементов цепи 1, 2, 3 соответственно равны Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . Элементы цепи отказывают независимо друг от

друга. Найти вероятность того, что ток пройдет из точки 1 в точку 2.

Решение. Опишем через события работу элементов цепи. Пусть событие А1 состоит в том, что работает элемент 1, событие А2 – элемент 2, событие А3 –элемент 3. Тогда вероятности этих событий запишутся так: Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . Найдем вероятности противоположных событий (т.е. того, что элементы 1, 2, 3 не работают и ток через них не идет), используя (1.3):

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Анализируем заданную цепь и определяем участки цепи с последовательным и параллельным соединением. На рис. 2.1 элементы 2, 3 соединены параллельно. А элемент 1 соединен последовательно с элементами 2, 3. Поэтому введем событие А состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 3, оно выполнится тогда, когда будет работать элемент 1. Можно записать: А=А1. Введем событие В, состоящее в том, что ток пройдет из точки 2 в точку 3; оно произойдет тогда, когда будут работать или элемент 2, или элемент 3. Тогда событие В можно описать так: Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . Рассмотрим событие С состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 2, оно выполнится тогда, когда выполнится и событие А и событие В. Событие С запишется так: Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . По условию задачи необходимо найти вероятность события С (учтем, что события А и В независимы), используем (2.5):

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru (2.8)

Найдем вероятности событий, входящих в правую часть формулы (2.8):

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , а Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru см. формулу (2.3) Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Подставляя полученные значения в формулу (2.8), получим

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru


Наши рекомендации