Предел функции. Основные теоремы о пределах

Число А называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого >0 существует номер N=N( )>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство |х_п—A|< . Если А –предел последовательности {х_n}, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся,в противном случае –расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределомфункции у=f(х) при х х₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует = ( )>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|< .

Если А – предел функции f(х) при х х₀, то записывают это так

В самой точке х₀функция f(х)может и не существовать (f(х₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N( )>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|< .

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х)в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f(x₀+0)), то он называется пределом справафункции f(х)в точке x₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х)в точке x₀необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х₀ = .

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида - , , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций.

Широко используются следующие два предела

1)

2) ,

которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.

Если (т. Е. для любого >0 существует число >0, такое что при 0< < справедливо неравенство < ), то называется бесконечно малойфункцией или величиной при х .

Для сравнения двух бесконечно малых функций и при х находят предел их отношения

(1)

Если С 0, то и называются бесконечно малыми величинами одного и того же порядка;если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .

Если (0< < ), то называется бесконечно малойпорядка k, по сравнению с при х .

Если , то бесконечно малые и при х называются эквивалентными(равносильными) величинами и обозначают ~ .

Например, при х ~ , ~ х, ~ х, —1~ ..

Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при х равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций и при х , т.е. верны предельные равенства

Непрерывность функции. Классификация

Точек разрыва функции.

Функция у=f(х)называется непрерывной при х=x₀ (в точке x₀), если:

1) функция f(х) определена в точке x₀и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции f(х)в точке x₀;

3) этот предел равен значению функции в точке x₀, то есть

(2)

Если положить х=x₀+ , то условие непрерывности (2) будет равносильно условию

т. Е. функция у=f(х)непрерывна в точке x₀тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Точка x₀, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непре­рывности функции, называется точкой разрывафункции. Если в точке x₀существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀ +0), такие, что f(x₀-0) f(x₀+0), то x₀называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов f(x₀-0) и f(x₀+0) не существует или равен бесконечности, то точку x₀называют точкой разрыва второго рода. Если f(x₀-0)=f(x₀ +0) и функция f(х)не определена в точке x₀, то точку x₀называют устранимой точкой разрыва функции.