Основные теоремы о пределах. Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: Ограниченная последовательность может быть расходящейся.

Теорема 3: Сумма (разность, произведение и частное) двух сходящихся последовательностей {х_n} и {у_n}, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности, произведению и частному) пределов последовательностей {х_n} и {у_n}.

Теорема 4: Если элементы сходящейся последовательности {х_n}, начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству х_n³b (х_n£b), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (а£b).

Определение предела функции на языке последовательностей даёт возможность рассматривать теоремы о пределах функций, как и теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 5: Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х₀ пределы В и С. Тогда функции

· f(x)±g(x),

· f(x)·g(x)

· f(x)/g(x) (при С¹0)

имеют в точке х₀ пределы, равные соответственно

· В±С,

· В·С

· В/С.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Два замечательных предела.

Первый замечательный предел (0/0):

Второй замечательный предел (1^¥):

Лекция 8

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Эквивалентные бесконечно малые функции

Непрерывность функции в точке

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х₀ (или при х®х₀), если .

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности.

Определение 2: Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке х=х₀ (или при х®х₀), если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х®¥, х®+¥, х®-¥, х®х₀-0, х®х₀+0.

Теорема: Функция, обратная бесконечно большой функции является бесконечно малой и наоборот.

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций:

Пусть при х®х₀ функции a(х) и b(х) являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(х);

2) если , то a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка;

3) если , то a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми и обозначается a(х)~b(х).

4) если , то a(х) называется бесконечно малой n-го порядка относительно b(х);

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.

Эквивалентные бесконечно малые функции.

при х®0: