Основные теоремы о пределах.

Вопросы к экзамену

по дисциплине “Математический анализ”

Тема 1: Введение в анализ

1. Функциональная зависимость и виды её представления (основные понятия, способы задания функций, свойства функций).

— математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. записывается или .

Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически, таблично или графически.

Функция , определенная на множестве D называется чет­ной, если для любых значений . Функции возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие называются монотон­ными функциями. Функции возрастающие, убывающие, называются строго монотон­нымифункциями. Функция , определенная на множестве , называется периодическойна этом множестве, если существует такое число , что при любом значение и . При этом число называется периодом функции.

2. Классификация функций (простейшие элементарные функции, неявная, обратная и сложная функции, алгебраические и трансцендентные функции).

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; напри­мер, функция у=х² +5х + 1.Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у(у>0), заданная уравнением х⁵ + у² - х =0.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=х^α, α R; показательная функция у=а^х, а › 0, а≠1; логарифмическая функция y=log_ax, а › 0, а≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы. Алгебраическойназывается функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий.( целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция). Любая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной.К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

3. Преобразование графиков (все случаи с примером на графике).

Правило 1.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вправо, если , или на влево, если .

Правило 2.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вверх, если , или на вниз, если .

Правило 3.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 4.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 5. Чтобы построить график функции , нужно значение ординаты графика функции умножить на число , а абсциссу оставить без изменения.

Правило 6. Чтобы построить график функции , нужно значение разделить на число .

Правило 7. Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика функции , лежащие выше оси , оставить без изменения, а участки ниже оси зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции , надо построить график функции , при и отразить его зеркально относительно оси .

4. Предел числовой последовательности (понятие числовой последовательности, определение предела числовой последовательности, геометрический смысл предела числовой последовательности).

Числовая последовательность — это функция натурального аргумента: . Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число (число ) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

Число называется пределом числовой последо­вательности , если для любого числа , существует такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности {xn}

5. Предел функции в точке (определение предела функции в точке, односторонние пределы, условие существования предела функции в точке, бесконечно большая последовательность определение предела функции на языке последовательностей, предел функции на бесконечности).

(по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число ( ), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство Обозначается .

(по Гейне).Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.

Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число ( ), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение бесконечно малой функции в точке и на бесконечности, свойства бесконечно малых функций).

Функция f(x) называется бесконечно малойпри , если .

Свойства бесконечно малых функций:

1)Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2)Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

7. Сравнение бесконечно малых функций (три случая, таблица эквивалентных бесконечно малых функций).

Сравнение бесконечно малых функций:

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~ .

Эквивалентные бесконечно малые при :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

8. Основные теоремы о пределах (семь теорем).

Таблица основных интегралов

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5. . 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. . 20. .

25. Непосредственное интегрирование (основное понятие, часто встречающиеся преобразования дифференциала).

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием.

Часто встречающиеся преобразования дифференциала:

1. Выражение не изменяется, если под знаком дифференциала к функции прибавить постоянную величину, т.е.

du=d(u+С), где С- число.

2. Если под знаком дифференциала функцию умножить на постоянную величину, все выражение нужно разделить на эту же постоянную величину, т.е.

где С – число.

Формула очень часто используется при вычислении интегралов. Например,

26. Метод подстановки в неопределенном интеграле (основное понятие, вывод формулы интегрирования).

Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменой интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и получаем формулу интегрирования подстановкой

.

27. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (основное понятие, вывод формулы интегрирования).

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: . Интегрируя это равенство, получим или

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. При ее применении подынтегральное выражение искомого интеграла разбивается на два сомножителя (u и dv). При переходе к правой части (2) первый из них дифференцируется ( ), второй интегрируется . Иногда эту формулу приходиться использовать несколько раз.

28. Правильные и неправильные рациональные дроби, выделение целой части у неправильной дроби (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, правильные и неправильные дроби, выделение целой части у неправильной дроби).

Целой рациональной функцией (многочленом) называется функция вида

, (1)

где а₀, а₁,…,а_n – постоянные, называемые коэффициентами многочлена; число n – постоянная, называемая показателем степени многочлена.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная

отношению двух целых рациональных функций (многочленов), т.е. , где Р_m(х)- многочлен степени m, а Q_n(x)- многочлен степени n.

Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n; в противном случае ( ) функция называется неправильной.

Всякую неправильную дробно-рациональную функцию можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(х) и правильной рациональной функции , т.е. .

29. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей, метод сравнивания коэффициентов (четыре основных вида простых дробей, три случая разложения правильных дробей на простейшие дроби, алгоритм метода сравнивания коэффициентов).

Простыми дробями называют дроби следующих типов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где A, M, N, a, p, q – действительные числа, k=2,3,…., m=2,3,….., квадратный трехчлен x²+px+q не имеет корней.

Рассмотрим 3 случая разложения дробно-рациональных функций:

1) Множители знаменателя линейные, они различны. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

2) Наряду с линейными различными множителями знаменателя (которых может и не быть) присутствуют повторяющиеся линейные множители. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

3) Наряду с линейными множителями знаменателя встречаются выражения второй степени, не разлагающиеся на линейные множители.

.

Вопросы к экзамену

по дисциплине “Математический анализ”

Тема 1: Введение в анализ

1. Функциональная зависимость и виды её представления (основные понятия, способы задания функций, свойства функций).

— математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. записывается или .

Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически, таблично или графически.

Функция , определенная на множестве D называется чет­ной, если для любых значений . Функции возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие называются монотон­ными функциями. Функции возрастающие, убывающие, называются строго монотон­нымифункциями. Функция , определенная на множестве , называется периодическойна этом множестве, если существует такое число , что при любом значение и . При этом число называется периодом функции.

2. Классификация функций (простейшие элементарные функции, неявная, обратная и сложная функции, алгебраические и трансцендентные функции).

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; напри­мер, функция у=х² +5х + 1.Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у(у>0), заданная уравнением х⁵ + у² - х =0.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=х^α, α R; показательная функция у=а^х, а › 0, а≠1; логарифмическая функция y=log_ax, а › 0, а≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы. Алгебраическойназывается функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий.( целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция). Любая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной.К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

3. Преобразование графиков (все случаи с примером на графике).

Правило 1.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вправо, если , или на влево, если .

Правило 2.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вверх, если , или на вниз, если .

Правило 3.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 4.Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 5. Чтобы построить график функции , нужно значение ординаты графика функции умножить на число , а абсциссу оставить без изменения.

Правило 6. Чтобы построить график функции , нужно значение разделить на число .

Правило 7. Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика функции , лежащие выше оси , оставить без изменения, а участки ниже оси зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции , надо построить график функции , при и отразить его зеркально относительно оси .

4. Предел числовой последовательности (понятие числовой последовательности, определение предела числовой последовательности, геометрический смысл предела числовой последовательности).

Числовая последовательность — это функция натурального аргумента: . Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число (число ) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

Число называется пределом числовой последо­вательности , если для любого числа , существует такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности {xn}

5. Предел функции в точке (определение предела функции в точке, односторонние пределы, условие существования предела функции в точке, бесконечно большая последовательность определение предела функции на языке последовательностей, предел функции на бесконечности).

(по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число ( ), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство Обозначается .

(по Гейне).Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.

Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число ( ), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение бесконечно малой функции в точке и на бесконечности, свойства бесконечно малых функций).

Функция f(x) называется бесконечно малойпри , если .

Свойства бесконечно малых функций:

1)Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2)Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

7. Сравнение бесконечно малых функций (три случая, таблица эквивалентных бесконечно малых функций).

Сравнение бесконечно малых функций:

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~ .

Эквивалентные бесконечно малые при :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

8. Основные теоремы о пределах (семь теорем).

Основные теоремы о пределах.

1) Функция не может иметь более одного предела.

2) Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен сумме пределов этих функций, т.е. /

3) Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, т.е. .

4)Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю, т.е. , где .

5) Если и , то .

6)Если в некоторой окрестности точки при достаточно больших имеет место неравенство , то предел .

7) Если в некоторой окрестности точки функция заключена между двумя функциями и , т.е. , то функция имеет тот же предел .

9. Первый и второй замечательные пределы.

Предел отношения бесконечно малой дуги к самой дуге (выраженной в радианах) называется первым замечательным пределом и равен единице, т.е. .

Предел последовательности с общим членом при называется вторым замечательным пределом и равен числу , т.е. .

10. Непрерывность функции (определение непрерывности по Гейне и по Коши, классификация точек разрыва, кусочно-непрерывные функции).

Определение (по Гейне). Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значение аргумента сходящейся к последовательность соответствующих значений функций, т.е. сходится к