Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:   - числа	Характер корней характеристического уравнения
Корни действительные, различные, т. е.	Корни действительные, есть повторяющиеся, т.е. (корень кратности m)	Корни комплексные, различные и т. д.	Корни комплексные, есть повторяющиеся - пара корней кратности
- общее решение денного уравнения, где - произвольные постоянные, - фундаментальная система решений данного уравнения.	Вид частных решений , соответствующих корням характеристического уравнения
	, . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . .
- характеристическое уравнение

22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:	Метод вариации произвольных постоянных	Метод подбора частного решения
Если - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения находится по формуле , если где находится из системы уравнений Частный случай: , где и находятся из системы уравнений Þ найти и где - постоянные	- специальный вид правой части неоднородного уравнения (пусть ) Частное решение ищется в виде , где – кратность корней характеристического уравнения: То есть зависит от правой части и от корней характеристического уравнения.
Структура общего решения: , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.
Если - частное решение уравнения - частное решение уравнения , то - частное решение уравнения

Числовые ряды. Основные понятия

№ п/п	Понятие	Определение и обозначение
1.	Ряд
2.	Члены ряда, общий ( n – ый ) член ряда	- бесконечная числовая последовательность, где
3.	Частичные суммы ряда
4.	Последовательность частичных сумм
5.	Сходящиеся ряды	, где – сумма ряда
6.	Расходящиеся ряды
7.	Остаток ряда
Основные свойства сходящихся рядов
сходится		- сходится
сходится, – его сумма		сходится, - его сумма
сходится, – его сумма		- сходится и
сходится, – его сумма	- его сумма
Необходимый признак сходимости ряда
- сходится
Следствие:		- расходится

Числовые ряды с положительными членами

Определение - действительные числа
Некоторые ряды и их поведение		Гармонический ряд расходится
	Обобщенный гармонический ряд при
	Ряд геометрический	при
В частности при ряды	расходится
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
Признаки сравнения	Интегральный признак Коши	Признак Даламбера	Признак Коши
(1) (2)	, : непрерывная, положительная, невозрастающая     Замечание:
1. где , (при ~ )	Þ	и одновременно сходятся или расходятся	а) - сход. б) - расход.	а) - сход. б) - расход.
2. а) сход.	Þ	сход	Замечание: 1. Если , то признак Даламбера и Коши не дают ответа о поведении ряда. 2. Признак Даламбера иногда используется без предельного перехода: сход., расход.
б) расход.	Þ	расход.
Замечание: В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды и