Интегралы от некоторых рациональных функций

Обозначение: .

1. . 2. , . 3. , . 4. , . 5. , . 6. , . 7. , . 8. , . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .

6. Интегралы, содержащие тригонометрические и показательные
функции

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .

Несобственные интегралы

	Условие	Определение и обозначение	Геометрическая иллюстрация сходящихся интегралов
1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования	- непрерывна на , где
- непрерывна на , где
- непрерывна на , где	интеграл сходится, если сходятся оба интеграла
2. Интегралы от неограниченных функций	- точка бесконечного разрыва
- точка бесконечного разрыва
- точка бесконечного разрыва	интеграл сходится, если сходятся оба интеграла сходятся
	Замечание 1. Если при отыскании предела окажется, что он не существует, то несобственный интеграл типа 1 и 2 называется расходящихся
3. Теоремы сравнения	- сходится, , - сходится,
- сходится Þ - сходится абсолютно
- расходится, - расходится
Замечание 2. Теоремы сравнения имеют место и для всех интегралов типа 1 и 2

Функции нескольких переменных

Определение функции	Графическое изображение	Множество равных уровней	Предел функции	Непрерывность
(функция отображает множество на множество ) В частности, 1. , . 2. , .	, . - график функции	, где - линия уровня , где - поверхность уровня	, если 1. определена в некоторой окрестности точки ; 2. : выполняется . Замечание. Предел функции не зависит от способа стремления т. к т.	Функция называется непрерывной в точке , если: 1. определена в точке и некоторой ее окрестности ; 2. ; 3. или где
Частные производные	Дифференциал
Определение	Геометрическое изображение	Определение	Применение дифференциала к приближенным вычислениям
, В частности, , ; Замечание. Частная производная по переменной находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причем, остальные переменные рассматриваются как постоянные.	, , т.   ;	- дифференцируемая функция в т. , где при . - главная часть приращения – дифференциал	, , В частности, , , , где

9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2)

Сложные функции и их дифференцирование	Неявно заданные функции и их дифференцирование
1. , где , . - полная производная 2. , где , 3. где - полная производная	Уравнение определяет неявное задание функции переменных и . , , где
Приложения дифференциального исчисления
Экстремум функции 2-х переменных	Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Определение	Необходимые условия существования экстремума	Достаточные условия существования экстремума	1) - уравнение поверхности - уравнение касательной плоскости - 2) - уравнение поверхности. - уравнение кас. плоскости - уравнение нормали к поверхности
	- стационарная точка функции . Замечание. Экстремум возможен и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует	. 1. а) - т. б) - т. 2. - в точке нет экстремума 3. - требуются дополнительные условия

Задачи о массе фигуры

Фигура Ф	Прямой стержень	Изогнутый стержень	Плоская пластина	Изогнутая пластина	Тело
Плотность
Элемент меры
Элемент массы
Масса фигуры