Метод собственных векторов приведения квадратичной формы к каноническому виду

Пример 3.Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

F =11 + 5 + 2 + 16x₁x₂ + 4x₁x₃–20x₂x₃

к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

Р е ш е н и е. Матрица квадратичной формы имеет вид A = .

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

| A – λE | = = (11−λ) (5−λ) (2−λ) + 2⋅8⋅(−10) + 2⋅8⋅(−10) − 2⋅(5−λ)⋅2−(11−λ)·

⋅(−10)⋅(−10)−8⋅8⋅(2−λ) = −λ³ + λ² (2+5+11) − λ(10+22+55) +110 −160 – 160 – 20 + 4λ− 1100 + 100λ–

–128 + 64λ = −λ³ +18λ² + 81λ −1458 = −λ (λ² − 81) + 18 (λ² − 81) = (λ − 9) (λ + 9) (−λ+ 18) = 0.

Отсюда находим собственные числа: λ₁ = 9, λ₂ = −9, λ₃ = 18.

Далее находим собственные векторы:

Собственный вектор для собственного числаλ₁ = 9 найдем из системы =>

~ ~ ~ ~

ð

Решая данную систему, получим x₁ = x₃, x₂ = – x₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= =>e₁ = .

Собственный вектор для собственного числаλ₂ = –9 найдем из системы

~ ~ ~

ð Решая данную систему, получимx₁ = – x₃, x₂ = x₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= =>e₂ = .

Собственный вектор для собственного числаλ₃ = 18 найдем из системы

~ ~ ~ ~

~ =>

Решая данную систему, получим x₁ = –2x₃, x₂ = –2x₃.

Фундаментальная системарешений состоит из одного вектора .

Соответствующий ортонормированный собственный вектор:

= 3 =>e₃ = .

Т.о., матрицаS = , S^Т = . D = S^ТAS = .

В базисе B = (e₁, e₂, e₃) заданная квадратичная формахАхимеет вид 9 – 9 + 18 ,

а соответствующее преобразование координат:

2.5.Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида x² + 2 xy + y² + 2 x + 2 y + = 0 определяет на плоскости кривую. Группа членов B = x² + 2 xy + y²называется квадратичной формой, L= 2 x + 2 y– линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица B = называется матрицей квадратичной формы. Здесь

= . Чтобы матрицу B привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда B = , где λ₁ и λ₂ – собственные числа матрицы B.

В базисе из собственных векторов матрицы Bквадратичная форма будет иметь канонический вид:

λ₁ + λ₂ .

Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.

Канонический вид кривой второго порядка: λ₁ + λ₂ = a, причем:

а) если λ₁ > 0, λ₂ > 0 – эллипс, в частности, при λ₁ = λ₂ это окружность;
б) если λ₁ > 0, λ₂ < 0 (λ₁ < 0, λ₂ > 0) имеем гиперболу;
в) если λ₁ = 0 либо λ₂ = 0, то кривая является параболой и после поворота осей координат

имеет вид λ₁ = ax₁ + by₁ + c(здесь λ₂ = 0). Дополняя до полного квадрата, будем

иметь: λ₁ = ax₁ + by₂ .

Начало формы

Конец формы

Пример 1. Дано уравнение кривой 3x² + 10xy + 3y² – 2x – 14y – 13 = 0
в системе координат (0,i,j), гдеi= {1, 0}, j = {0, 1}.
1). Определить тип кривой.
2). Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3). Найти соответствующие преобразования координат.

Р е ш е н и е. Приводим квадратичную форму B = 3x² + 10xy + 3y²к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формыB = . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: .Характеристическое уравнение = λ² − 6λ −16 = 0 имеет корни: λ₁ = –2, λ₂ = 8.Вид квадратичнойформы: –2 + 8 .Т.о., исходное уравнение определяет гиперболу.

Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать8 – 2 ,однако тип кривой остался тот же – гипербола.

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ₁ = –2: =>x₁ + y₁ = 0.

Собственный вектор, отвечающий числу λ =–2при x₁=1:x₁= {1, –1}. В качестве единичного собственного вектора принимаем векторi₁ = ,где – длина вектораx₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственномучислу λ = 8,находим из системы =>x₁–y₁ = 0 =>x₂= {1, 1}, j₁ =
Итак, имеем новый ортонормированный базис( i₁, j₁) .
По формуламx = Syпереходим к новому базису: = или

x= x₁ + y₁,y= – x₁ + y₁. (*)

Вносим выраженияx иy в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:

–2 + 8 + x₁– y₁= 13

Выделяем полные квадраты: –2 + 8 = 8 .

х₂=x₁– , у₂= у₁– .

Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: х₂=x₁– , у₂= у₁– .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x₂и y₂, то получим:

х₂= , у₂= .

В системе координат( 0^*, i₁, j₁)данное уравнение имеет вид:– + =1.
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x₂ = 0задается в старой системе координат уравнением x – y – 3 = 0,а ось y₂ = 0уравнением x + y – 1 = 0.Начало новой системы координат0^*(2, –1)является точкой пересечения этих прямых.

Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:

1. Переход к системе координат с осями x₂ = 0, y₂ = 0, заданными в старой системе координат уравнениями x – y – 3 = 0и x + y – 1= 0соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Пример 2.Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

9х² – 4ху + 6у² + 16х – 8у – 2 = 0,

определить ее тип и найти каноническую систему координат.

Р е ш е н и е. Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна .

Ее собственные числа

(9 – λ) (6 – λ) – 4 = 0 =>λ² – 15λ + 50 = 0 =>λ₁ = 5,λ₂ = 10;

собственные векторы:

λ₁ = 5: =>е₁ = . λ ₂ = 10: =>е₂ = .

Выполняя преобразования

х = (х´– 2у´ ),у = (2х´+ у´ ),

получаем

5 + 10 – у´ – 2 = 0.

Т.к.λ₁иλ₂отличны от нуля, то по каждой из новых переименованныхх´иу´ можно выделить полный квадрат:

пох´полный квадрат уже есть (преобразование сдвига делать не нужно);

поу´: 10 – у´ = 10 – 8.

Заменой переменных = х´, = у´– , соответствующий сдвигу по осиОу,получим

5 + 10 – 10 = 0 или + = 1.

Данное уравнение есть каноническое уравнение эллипса . Результирующее преобразование координат имеет вид

х = ( – 2( + )) = ( – 2 ) – , у = (2 + ( + )) х = (2 + ) + ,

а каноническая система координат(О´,е₁, е₂ ), где

О´(– , ), е₁ = i + j , е₂ = – i+ j .

Задания.Написать каноническое уравнение кривой второго порядка определить ее тип и

найти каноническую систему координат:

1. 5 +6x₁x₂ – 3 = 36.

2. 4x₁x₂+3 = 16.

3. 3 +2x₁x₂+3 = 4.

4. 4 +4x₁x₂+ = 20.

5. 5 +12x₁x₂= 36.

6. – 6x₁x₂+ = 8.