Производные, дифференциалы функций
Глава 7
Производные, дифференциалы функций
Правила дифференцирования
1. Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, то есть
.
Доказательство. Пусть 
, тогда
2. Производная произведения: 
.
Доказательство. Пусть 
, тогда
,
откуда следует
.
При получении этой формулы используются два свойства пределов: предел произведения равен произведению пределов, и предел функции 
, не зависящей от 
, равен самой функции.
3. Производная частного двух функций:
.
Формула приводится без доказательства (с ним можно познакомиться в одном из рекомендованных учебников).
4. Производная сложной функции. Пусть 
, где 
, тогда
,
здесь 
есть искомая производная функции 
по переменной 
, а 
производная этой же функции по промежуточному аргументу 
.
Доказательство.
.
При доказательстве формулы использовался переход от вычисления предела при 
к пределу при 
. Этот переход законен, если 
непрерывная функция, что следует из третьего определения непрерывности функции.
Следствие. Это свойство можно обобщить и на большее количество промежуточных аргументов функции. Рассмотрим, например, функцию 
, где 
. Очевидно, промежуточных аргументов здесь два и 
, тогда 
и так далее.
5. Производная обратной функции. Рассмотрим функцию 
и обратную ей 
. Установим связь между производными этих функций.
.
В доказательстве формулы использовался переход от вычисления предела при к пределу при , что, как говорилось выше, является законным для непрерывных функций.
Для дальнейшей работы с производными необходима таблица производных элементарных функций.
Таблица производных
1. 
, если 
постоянная.
Доказательство. Поскольку постоянная, ее приращение равно нулю, то есть 
. Очевидно, 
.
2. 
для любых 
.
Докажем это свойство для 
. Пусть 
, тогда
,
.
Для других доказательство будет приведено позднее.
3. 
.
Доказательство: 
,
.
При вычислении второго из пределов сделана замена переменной 
, затем использован первый замечательный предел.
4. 
(доказывается аналогично).
5. 
.
Доказательство:
.
6. 
. Доказательство аналогично.
7. 
.
Доказательство:
, откуда имеем
.
8. 
. Доказывается аналогично.
9. 
.
Доказательство:
,
.
10. 
.
11. 
.
Доказательство. Пусть 
, тогда
,
откуда следует
.
В ходе доказательства использовались следующие свойства логарифмов:
а) 
, б) 
, в) 
,
также использовалась замена переменной 
, после чего – второй замечательный предел. Постоянная 
и натуральный логарифм 
были введены при рассмотрении второго и третьего замечательных пределов. Поскольку логарифм – функция непрерывная, перестановка местами логарифма и предела следует из первого определения непрерывности функции: 
.
12. 
.
Формула является следствием предыдущей формулы.
13. 
.
Пусть 
тогда 
, следовательно,
.
14. 
. Формула является следствием предыдущей.
Для вычисления производных большинства функций достаточно знать таблицу производных элементарных функций и уметь применять правила дифференцирования. Иногда удобно готовить функцию к дифференцированию, приводя ее к наиболее удобному для вычисления производной виду.
Примеры вычисления производных
1. 
,
.
При вычислении производной использовались правила производной от суммы и произведения, таблица производной. Второе слагаемое функции 
преобразовано к более удобному для дифференцирования виду.
2. 
.
3. 
.
В вышеприведенных примерах дифференцируемые функции являлись либо комбинациями простых функций, либо приводились к таким комбинациям.
При вычислении производных сложных функций существенно используется правило дифференцирования сложных функций с фактическим или мысленным введением одного и более промежуточных аргументов.
4. 
,
.
5. 
,
,
.
Из последних двух примеров следует, что при вычислении производных сложных функций вначале вводится необходимое количество промежуточных аргументов, после чего функции становятся простыми, это позволяет произвести дифференцирование, затем для получения ответа необходимо избавиться от этих промежуточных аргументов. Это обстоятельство приводит к идее о "мысленном" введении этих промежуточных аргументов, тогда нет необходимости избавляться от них в конце решения.
В этом случае вводится следующее правило вычисления производных: производная функции представляет собой произведение производной по сложному аргументу на производную от этого сложного аргумента. При этом обычно действуют в направлении, противоположном вычислению функции.
Рассмотрим вначале те же примеры.
4'. Функция 
вычисляется следующим образом. Вначале вычисляется выражение 
, затем логарифм этого выражения. Дифференцируем в противоположном направлении. Производная от логарифма умножается на производную от выражения под знаком логарифма.
.
При этом мысленно вводится аргумент 
. Следует отметить, что результат в последнем случае получается гораздо быстрее, чем в первом.
5'. 
. При вычислении функции определяем вначале выражение 
, затем косинус этого выражения, после чего получаем значение показательной функции. Вычисляем производную в обратном порядке: вначале производная от показательной функции, умножаем ее на производную от косинуса, и, наконец, на производную от суммы функций. Тогда
.
Мысленное введение промежуточных аргументов в процессе дифференцирования делает функции, как бы, простыми, что позволяет использовать таблицу производных.
6. 
,
,
.
7. 
,
.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить 
7.1 
, 7.2 
, 7.3 
,
7.4. 
, 7.5 
, 7.6 
,
7.7 
, 7.8 
, 7.9 
.
В этой главе примеры для самостоятельной работы приводятся без ответов, ибо ответ в данном случае является решением задачи.
Глава 7
Производные, дифференциалы функций