Определение граничных значений напряжения и тока

Значения постоянных интегрирования определяются однозначно только после включения отрезка линии в состав электрической цепи и выбираются такими, чтобы при x¢ = 0 соблюдались граничные условия. Рассмотрим процедуру получения и использования граничных условий полубесконечного отрезка линии, подключённого к автономному (активному) сосредоточенному двухполюснику (Рис. 4).

Рис. 4

Запишем сначала выражение комплексной характеристики автономного сосредоточенного двухполюсника, к примеру, в Z-форме

и выражение напряжения U(x¢) в начале отрезка линии (x¢ =0)

.

По Рис. 4 составим условия сопряжения значений напряжений и токов автономного двухполюсника и начала отрезка линии:

и .

С учётом последних равенств комплексная характеристика автономного двухполюсника примет вид

.

Это и есть искомое выражение граничного условия полубесконечного отрезка линии; вместе с комплексной характеристикой отрезка в Z-форме (15) оно позволяет найти искомые значения постоянных интегрирования I₁и U₁:

; .

Этим формулам отвечает схема электрической цепи с сосредоточенными компонентами (Рис. 5), на которой полубесконечный отрезок однородной линии представлен пассивной ветвью сопротивлением Z_c. Если же исходить из комплексных характеристик автономного двухполюсника и полубесконечного отрезка однородной линии в Y-параметрах, то, после аналогичных выкладок придём к выражениям, дуальным предыдущим:

Рис. 5 Рис. 6

; .

которым соответствует схема электрической цепи с сосредоточенными компонентами, представленная на Рис. 6. В дальнейшем при определении значений постоянных интегрирования общих решений телеграфных уравнений мы будем пользоваться этими или подобными им схемами, минуя рассмотренную процедуру вывода граничных условий.

Волны напряжения и тока

Перейдём к мгновенным значениям напряжения u(x¢, t) и тока i(x¢, t) в произвольном сечении отрезка с координатой x¢. Полагая в выражении (11) в соответствии, например, с формулами (3), получаем

.

Отсюда видно, что при фиксированном значении координаты x¢ напряжение u(x¢, t) этого сечения является гармонической функцией времени с частотой w и постоянной амплитудой . Если же зафиксировать момент времени t и рассматривать изменение напряжения вдоль полубесконечного отрезка, то получим осциллирующую знакопеременную функцию амплитуда которой убывает по экспоненте с ростом x¢, то есть по мере удаления от начала отрезка линии.

С течением времени распределение напряжения перемещается вдоль отрезка линии, образуя волну напряжения. Для определённости, за скорость распространения волны примем её так называемую фазовую скорость v_ф, под которой понимают скорость перемещения её сечения в выбранной неподвижной системе координат, фаза колебания в котором остаётся неизменной. Отсюда видно, что с течением времени t значение фазы волны остаётся неизменным, если значение координаты её сечения x¢ соответствующим образом возрастает. Таким образом, волна напряжения перемещается (бежит) от начала отрезка линии. Из условия постоянства значения фазы бегущей волны или

следует, что волна напряжения перемещается вдоль отрезка линии с фазовой скоростью

Рис. 7

На Рис. 7 изображены нормированные на амплитуду U_m волны напряжения для двух следующим друг за другом моментов времени t₁и t₂, причём 0 < t₂ – t₁ < T/2.

Аналогично можно рассмотреть изменения тока вдоль полубесконечного отрезка однородной линии и получить выражение

которое описывает волну тока, бегущую от начала отрезка с тем же значением фазовой скорости v_ф и так же затухающую в направлении своего распространения.

Из выражений волн напряжения и тока следует, что значение коэффициента затухания , входящего в показатель экспоненты, характеризует убывание амплитуд волн при их распространении вдоль отрезка линии. Фазы напряжения и тока изменяются вдоль отрезка линии по линейному закону. Коэффициент фазы b определяет скорость этих изменений. Разность фаз напряжения и тока в любом сечении отрезка равен аргументу характеристического сопротивления линии

.

Коэффициент затухания a выражается в неперах или децибелах на единицу длины, а коэффициент фазы b – в радианах на единицу длины.

Убывание амплитуд волн напряжения и тока в направлении их перемещения обусловливается необратимыми преобразованиями энергии вдоль отрезка линии, а изменение их фаз – конечными значениями фазовых скоростей распространения этих волн.