Однородные линейные дифференциальные уравнения
Однородные линейные дифференциальные уравнения
Высших порядков.
Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Пример.2.3.1. Найти частное решение уравнения 
, если
.
▲ Чтобы решить задачу Коши, то есть определить частное решение уравнения 
по заданным условиям 
, нужно:
1. Найти общее решение:
.
2. Подставить начальное условие 
в общее решение
.
3. Найти 
от общего решения и подставить туда второе начальное условие: 
.
,
.
4. Решить полученную для определения 
систему
5. Подставить 
в общее решение:
− частное решение. ▼
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Решить следующие дифференциальные уравнения (найти их общие интегралы):
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 
.
Найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:
7. 
. Ответ: 
.
8. 
. Ответ: 
.
9. 
. Ответ: 
.
Однородные уравнения 1-го порядка
Решить следующие уравнения:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения Бернулли
1. 
. Ответ: 
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
Уравнения в полных дифференциалах
Проверить, что следующие уравнения 1-го порядка есть уравнения в полных дифференциалах и решить их:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Решить уравнения:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
4. 
. Ответ: 
5. 
. Ответ: 
6. 
. Ответ: 
.
Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
7. 
. Ответ: 
.
8. 
. Ответ: 
.
9. 
. Ответ: 
.
Однородные линейные дифференциальные уравнения
С постоянными коэффициентами
Найти общие решения уравнений:
1. 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 
.
7. 
. Ответ: 
.
8. 
. Ответ: 
.
9. 
. Ответ: 
.
10. 
. Ответ: 
.
11. 
. Ответ: 
.
12. 
. Ответ: 
.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
С постоянными коэффициентами
Найти общие решения уравнений:
1.ч 
. Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
.Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 
.
7. 
.
Ответ: 
.
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1-3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
4. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
6. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции 
при данном значении x с точностью до двух знаков после запятой.
7. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
8. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
9-11. Найти общее решение дифференциального уравнения.
12. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.
ВАРИАНТ 1 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  6.  ;  7.  . 8.  . 9. a.  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ;  . | ВАРИАНТ 2 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ;  . |
ВАРИАНТ 3 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ;б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 4 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 5 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 6 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 7 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 8 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 9 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 10 1.  . 3.  . 2.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 11 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 12 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 13 1.  . 3.  . 2.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 14 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 15 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 16 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 17 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 18 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 19 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 20 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 21 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  | ВАРИАНТ 22 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ,  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 23 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 24 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 25 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 26 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  ;  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . |
ВАРИАНТ 27 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 28 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  . |
ВАРИАНТ 29 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  ,  . | ВАРИАНТ 30 1.  . 2.  . 3.  . 4.  . 5.  . 6.  7.  . 8.  . 9. а)  ; б)  ; в)  . 10.  . 11.  . 12.  . |
Решение задач 1-5 типового варианта
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
1. 
.
▲ Здесь 
можно записать как (разложив на множители оба выражения): 
, где каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Следовательно, данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (тип I).
.
Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является 
. ▼
2. 
.
▲ Здесь функции 
представляют собой выражения, в которых каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Поэтому исходное уравнение является уравнением типа I.
.
,
.
− общий интеграл дифференциального уравнения. ▼
3. 
.
▲ Запишем уравнение в нормальной форме 
.
.
Следовательно, 
− однородная функция нулевого измерения, потому исходное уравнение однородное.
,
.
,
. Общий интеграл исходного уравнения: 
. ▼
4. Найти частное решение дифференциального уравнения
.
▲ Приведем подобные члены относительно 
и преобразуем уравнение, выделив производную
, 
.
Функция, ее производная входят в уравнение в первой степени (линейно). Следовательно, данное уравнение линейное. Решаем его.
