Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема 8.1. Если числовой ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится, то его общий член Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru при неограниченном возрастании его номера стремится к нулю, т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим общий член Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru как разность частичных сумм и найдем предел

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Следствие. Если предел общего члена ряда при неограниченном возрастании его номера отличен от нуля, т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , то ряд расходится.

Пример 8.2. Используя следствие из необходимого признака сходимости показать, что ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится.

Находим Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Следовательно, ряд расходится.

Данный необходимый признак сходимости числовых рядов не позволяет установить сходимость ряда. Он позволяет только установить, что ряд расходится, и только для тех рядов, которые расходятся достаточно быстро.

Пример 8.3. Рассмотрим ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Данный ряд часто используется при исследовании сходимости числовых рядов и имеет специальное название «гармонический». Для данного ряда выполняется необходимый признак, так как Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Однако данный ряд расходится. Покажем это.

Так как ряд имеет бесконечное число членов, то из его членов можно сформировать бесконечное число групп (сумм), сумма каждой из которых больше 1/2. Группы членов ряда заключены в скобки. В первую группу входит 2 члена, во вторую Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , в третью Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru и т. д.

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru В каждой группе заменим все слагаемые последними, которые является наименьшими в группах, получим неравенство

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru Так как сумма дробей в каждой скобке равняется ½, имеем

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru при Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. ряд расходится.

Необходимо также отметить, что если отбросить любое конечное (большое) число членов этого ряда, сумма его останется бесконечно большой.

Классификация числовых рядов в зависимости от знаков их членов

Ряд называется знакоопределенным, если все его члены одного знака.

Ряд называется знакоположительным (знакоотрицательным), если все его члены положительные (отрицательные).

Ряд называется знакопеременным, если его члены изменяют знаки каким-либо образом.

Ряд называется знакочередующимся, если знаки его членов чередуются (изменяются периодически).

Достаточные признаки сходимости знакоположительных

Числовых рядов

Признаки сравнения рядов

Теорема 8.2(Первый признак сравнения рядов).

1. Если члены знакоположительного ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , то он сходится.

2. Если члены знакоположительного ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru не меньше соответствующих членов расходящегося ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , то он расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится и его сумма равна Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru знакоположительный, поэтому последовательность его n-ых частичных сумм Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru монотонно возрастает при увеличении n.

Члены ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru не превосходят соответствующих членов ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Ввиду этого частичные суммы рядов удовлетворяют неравенству

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Кроме того, очевидно, что Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Следовательно, последовательность частичных сумм Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru монотонно возрастает и ограничена ( Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru ). По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится.

Второе утверждение теоремы докажем от противного. Пусть известно, что ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится и Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Предположим, что ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится. Тогда по первому утверждению данной теоремы должен сходиться также ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . В этом и состоит противоречие.

Пример 8.4. Исследовать сходимость ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Для сравнения выберем сходящийся ряд, являющийся бесконечной убывающей геометрической прогрессией Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , которая сходится, так как знаменатель прогрессии Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов предложенной геометрической прогрессии Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . В соответствии с пунктом 1 теоремы 8.2 ряд сходится.

Пример 8.5. Исследовать сходимость ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Для сравнения выберем расходящийся гармонический ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Члены исследуемого ряда больше соответствующих членов гармонического ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , поэтому ряд также расходится.

Теорема 8.3 (Второй признак сравнения рядов). Если отличен от нуля конечный предел отношения соответствующих членов двух знакоположительных рядов Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru и Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.

Д о к а з т е л ь с т в о. По определению предела по Коши на языке e-d существование предела отношения членов рядов означает:

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Это значит, что для любого n > N(e) справедливы неравенства

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Сходимость рядов не зависит от того, что будет отброшено конечное число членов (N(e)). Члены рядов можно перенумеровать и считать, что последнее неравенство выполняется, начиная с n =1. т. е.

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Тогда для частичных сумм рядов можно записать

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , где Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Далее рассмотрим два случая.

1. Ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится. Тогда предел его частичных сумм существует и является конечной величиной Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Учитывая это и левую часть последнего неравенства Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , можно записать Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. последовательность частичных сумм ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , являющаяся монотонно возрастающей, ограничена. По теореме Вейерштрасса она имеет предел и, следовательно, ряд сходится.

2. Ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится, т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Тогда, учитывая правую часть выше полученного неравенства, имеем Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Отсюда можно сделать вывод, что предел частичных сумм второго ряда также неограничен Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Следовательно, ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится.

Можно аналогично рассуждать, начиная с предположений о сходимости ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , показать, что одновременно с ним сходится или расходится ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Пример 8.6. Исследовать сходимость ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Сравним исходный ряд с гармоническим рядом Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . Используем первый замечательный предел, находим

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Отсюда следует, что исследуемый ряд расходится так же, как и гармонический.

Теорема 8.4. (Третий признак сравнения рядов).

1. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему для ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru не превосходит соответствующего отношения последующего члена ряда к предыдущему для сходящегося ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , т. е. Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru для любого n, то ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится.

2. Если же Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru и ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится, то и ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы для любого n имеют место неравенства

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Перемножим почленно левые и правые части этих неравенств, получим

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Сократим одинаковые члены в числителях и знаменателях левой и правой частях неравенства, получим

Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru .

Отсюда следует, если ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru сходится, то по теореме 8.2 сравнения рядов также сходится ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru , так как его члены не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru . На основании той же теоремы, если ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится, то и ряд Необходимый признак сходимости числового ряда - student2.ru расходится.

Наши рекомендации