Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
Для значимых параметров связи имеет смысл найти интервальные оценки.
При определении с надежностью γ доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициентов корреляции ρ используют Z-преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z
Z' - t (1.7)
где tγ вычисляют по таблице интегральной функции Лапласа (табл. 1 приложения) из условия
Φ(t)=γ
Значение Z' определяют по таблице Z - преобразования (табл. 6 приложения) по найденному значению r. Функция нечетная, т. е.
Z'(-r) = -Z'(r).
Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z - преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ :
r ρ r.
Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (rmin, rmax).
76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).
Х ~ N (a , δ), причем значение параметра a не известно, а значение дисперсии δ2 известно.
При Х ~ N (a , δ) эффективной оценкой параметра а является Х «с крышечкой», при этом Х «с крышечкой» ~ N (а, δ/√n). Статистика Z= Х «с крышечкой»-а|δ/√n имеет распределение N(0;1) независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна. Следовательно, с учетом неравенства
ψа<ψ(Ө «с крышечкой», Ө) < ψа «с крышечкой»
и симметричности двусторонних критических границ распределния N (0;1)будем иметь:
Р(-uа < Z< ua )=1-a.
Решая неравенство -uа < Х «с крышечкой»-а|δ/√n < ua относительно а, получим, что с вероятностью 1-а выполняется неравенство:
Х «с крышечкой»-uа δ/√n <а<Х «с крышечкой»+ uа δ/√n
При этом
∆= uа δ/√n
что соответствует результату Р{|Z|≤ uа }=1-a, или Ф(uа) = (1-a)/2 число uа находят по таблице из условия Ф(uа) = (1-a)/2.
77. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).
Х ~ N (a , δ), причем числовые значения ни а ни δ2 не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а: Х «с крышечкой» и оценку
n
s2=1|n-1 *Σ(Xi-X «с крышечкой»)2 параметра δ2
i=1
Построение интервальной оценки для а основано на статистике
t(n-1)= X «с крышечкой»-а|s/√n, которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(a , δ) имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.
С учетом неравенства
Х «с крышечкой»-uа δ/√n <а<Х «с крышечкой»+ uа δ/√n и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:
Р(-ta<t(n-1)< ta)=1-a
Решая неравенство -ta<X «с крышечкой»-а|s/√n< ta относительно а, получим, что с вероятностью 1-а выполняется неравенство
Х «с крышечкой» -ta s/√n< Х «с крышечкой»+ta s/√n
и ошибка оценки Х «с крышечкой» при неизвестном значении параметра δ2
∆ ta s/√n,
где число ta находят по таблице при k=n-1 и p=a
Х «с крышечкой»- uа s/√n<a< Х «с крышечкой»+ uа s/√n где Ф(uа)=(1-а)/2