Лекция 5: «Теория вероятности. Общая теория систем»

Закономерные события – это события, которые всегда происходят, как только создаются определенные условия. Закономерные же явления – это система закономерных событий.

Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений и устанавливает связи между вероятностями случайных событий в математических моделях, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по вероятностям более простых событий.

Основным в теории вероятностей является понятие случайного события. Вот несколько примеры случайных событий: а) При бросании монеты n раз герб выпадает не менее k раз. б) При подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков. в) Монета бросается до первого появления герба. Достоверным событием называется событие, которое всегда происходит (будем обозначать достоверное событие, как правило, символом Ω). Невозможное событие ∅ – событие, которое никогда не происходит. Противоположное событие ¯ A – событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A. Суммой или объединением событий A и B называется событие, обозначаемое A∪B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит или A, или B (или оба вместе). Произведением или пересечением событий A и B назовем событие, обозначаемое A ∩ B или AB, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события A и B вместе.

Разностью A\B событий A и B называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B. События A и B называются несовместными, если AB = ∅. Сумму попарно несовместных событий A и B будем обозначать через A + B. Будем писать A ⊆ B и говорить, что событие A влечет за собой событие B, если из наступления события A следует наступление события B. Если A ⊆ B и B ⊆A, то события A и B будем называть равносильными и писать A = B. Возможные взаимно исключающие исходы эксперимента называются элементарными событиями. Общепризнанным считается подход, когда события отождествляются с подмножествами множества всевозможных элементарных событий. Тогда объединение, пересечение и противоположное событие совпадают с соответствующими теоретико-множественными операциями, а класс всех событий, связанных с экспериментом и включающих интересующее нас событие, должен быть замкнут относительно этих операций. Вероятность же есть числовая характеристика класса событий, свойства которой должны быть аналогичны свойствам относительной частоты осуществления события.

Система — это полный, целостный набор элементов (компонентов), взаимосвязанных и взаимодействующих между собой так, чтобы могла реализоваться функция системы. Общая теория систем (ОТС) — научная дисциплина, изучающая самые фундаментальные понятия и аспекты систем. Она изучает различные явления, отвлекаясь от их конкретной природы и основываясь лишь на формальных взаимосвязях между различными составляющими их факторами и на характере их изменения под влиянием внешних условий, при этом результаты всех наблюдений объясняются лишь взаимодействием их компонентов, например характером их организации и функционирования, а не с помощью непосредственного обращения к природе вовлечённых в явления механизмов (будь они физическими, биологическими, экологическими, социологическими, или концептуальными).

Лекция 6: «Основные понятия теории вероятности»

Случайным называется событие, если при реализации установленной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. При этом событие будет рассматриваться как результат испытания. Например, человек стреляет по мишени, которая разделена на четыре части. Тогда выстрел — это испытание, а попадание в конкретную область мишени есть событие. Если появление одного из событий исключает появление других событий в одном и том же испытании, то события называются несовместными. Например, была подброшена монета, при этом появление герба исключает появление надписи. Значит события «выпадение герба» и «выпадение надписи» — совместные. Если в результате испытания появится хотя бы одно из событий, то можно говорить, что несколько событий образуют полную группу. Следовательно, если события, которые образуют полную группу, попарно несовместны, то при испытании появится одно и только одно из этих событий. Например, человек старался выстрелить по цели. Непременно случится одно из событий: попадание или промах. Значит можно сказать, что эти два несовместных события образуют полную группу. Равновозможными называют события, если есть повод полагать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например, при бросании монеты выпадение «герба» и выпадение надписи являются равновозможными событиями. Ведь монета правильной цилиндрической формы изготовлена из однородного материала, а присутствие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

статистическая вероятность любого события лежит в пределах между нулем и единицей. Для наличия статистической вероятности события А необходимо:

1) чтобы была возможность производить ограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

2) чтобы существовала устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях довольно большого числа испытаний.