Прямые и плоскости в аффинном пространстве, кривые и поверхности второго порядка

Тема 21. Аксиомы Евклида

Геометрия Евклида как первая из дошедших до нас естественнонаучных теорий. Аксиомы Евклида.

Тема 22. Метод координат. Уравнения прямой на плоскости

Метод координат на плоскости и в пространстве, формулы расстояния между двумя точками. Формулы преобразования координат (параллельный перенос, поворот осей). Полярные координаты, их связь с декартовыми. Уравнение линии. Уравнение окружности. Уравнение прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку в данном направлении; через две данные точки. Угол между двумя прямыми на плоскости, условия их параллельности и перпендикулярности. Общее уравнение прямой, его исследования. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Тема 23. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости, его частные случаи: по двум векторам, лежащим в плоскости, и точке; по трем точкам; по двум точкам и вектору в плоскости; в параметрической форме; в отрезках; в координатной форме; алгебраическое уравнение плоскости. Условие параллельности и пересечения двух плоскостей, условие совпадения двух плоскостей.

Канонические уравнения прямой в пространстве, параметрическое уравнение прямой, направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в пространстве. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости. Угол между прямыми, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости, кратчайшее расстояние от прямой до плоскости, кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Условие принадлежности прямой плоскости, условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

Тема 24. Кривые и поверхности второго порядка

Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола. Уравнения и графики кривых второго порядка. Асимптоты гиперболы. Эксцентриситет, директрисы и фокусы эллипса, гиперболы и параболы. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности, сфера, конусы. Поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.

Раздел 3.

Математический анализ

Раздел 3.1.

Функции, предел и непрерывность функций

Тема 25. Функция

Определение функции, область ее определения и область значений. Характеристики поведения функций: четность и нечетность, возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, ограниченность, периодичность. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Замечательные кривые. Неявные функции. Сложные и обратные функции, их графики.

Тема 26. Предел функции

Предел функции в точке. Эквивалентность определения пределов в смысле Гейне и в смысле Коши. Предел функции на бесконечности. Предел слева и справа. Свойства пределов: арифметические действия над функциями, имеющими пределы, предельные переходы в неравенствах функций, имеющих пределы. Предел монотонной функции. Критерий Коши. Некоторые замечательные пределы. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций, главная часть функции, о-малое и О-большое. Предел функции нескольких переменных

Тема 27. Непрерывность функции

Непрерывность функции, непрерывность слева и справа. Выколотая точка, точки разрыва первого и второго рода. Арифметические действия над непрерывными функциями, непрерывность сложной функции. Кольцо непрерывных на отрезке функций. Свойства непрерывных функций, теорема об обращении функции в нуль (первая теорема Больцано–Коши), теорема о промежуточном значении (вторая теорема Больцано–Коши), теорема об ограниченности функции (первая теорема Вейерштрасса), теорема о достижении непрерывной функции в замкнутом промежутке верхней и нижней граней (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывность основных элементарных функций. Теорема об обратной функции.

Раздел 3.2.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной