Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат.

Прямоугольная с-ма координат на плоскости.

Две взаимноперпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу образуют прямоуг. с-му координат на плоскости. Ось Ох-ось абсцисс, ось Оу-ось ординат, точка О-начало координат. Плоскость, расположенную на осях Ох и Оуназыв. корд.плоскостью. Пусть М - произвольная точка, опустим перпендикуляр на ось Ох и Оу соотв. МА и МВ. Точке М на плоскости ставят в соотв-е 2 числа: абсциссу Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и ординату Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru =расстоянию от О до А взятому со знаком «+» если А лежит правее О и «-» - если левее. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru =расстоянию от О до В, взятому со знаком «+» если В выше О и «-» - если ниже.

Абсцисса и ордината в точке М, наз-тсяпрямоуг. (декартовыми) координатами точки М. Введение прямоуг. с-мы координат позволяет установить взаимнооднозначноесоотв-е между всеми точками плоскости и множ-вом пар чисел, что дает при решении геом. задач применять алгебраические методы.

Полярная с-ма координат(П.С.К.).

П.С.К. состоит из нек-рой точки О, называемой полюсом и луча ОЕ, исходящего из точки О, называемого полярной осью. Кроме этого задается единица масштаба. Пусть задана полярная с-ма координат и пусть М-произв. точка плоскости. Положим r–это расстояние ОМ, j-угол, на к-рый нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ. Полярными координатами точки М наз-ют числа r и j, при этом r-1-ая координата, j-2-ая, называемая полярным углом. Точка М обозначается Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , при чем r[0,+¥), j[0;2p].-рав-во 1. Однако в ряде случаев приходится рассматривать углы больше 2p, а также отриц. углы, т.е. отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу Осоотв-ет полярный радиус r=0, а полярный угол не определен.

Связь между полярными и Декартовыми координатами.

Будем предполагать, что начало прямоуг. с-мы координат находится в полюсе О, а полож. полуось абсцисс совпадает с направлением полярной оси. Пусть М имеет прямоуг. корд. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и полярные Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . (рис.) Не сложно показать, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (1). Ф-лы (1) выражают прямоуг. корд.через полярные. Выразим полярные коорд. через прямоугольные. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (2). Разделим второе ур-ние на первое Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (3). Заметим, что ф-ла (3) определяет 2 значения полярного угла j. Из этих двух значений выбираем то, при к-ром вып-тсярав-во 1.

Простейшие задачи аналитической геометрии.

Расстояние между двумя точками.

Теорема. Для любых двух точек Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru на плоскости расстояние Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru между ними выраж-тся ф-лой: Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Док-во:

1.Пусть х1 не = х2,и у1 не =у2

Тогда М1N=/ х2- х1/; М2N=/ у2- у1/;М1М2= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

2.Пусть х12, и у1 не=у2,тогда

М1М2=/у2- у1/= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru = Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Аналогич.если у21

3.пусть х12, у21.тогда точки совпадают и расстояние равно 0; М1М2=0= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Пр. Найти расстояние от (-1;2) до (3;-4)

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Площадь треугольника.

Т. Для любых точек Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru не лежащих на одной прямой, Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru выражается ф-лой

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

3)Ур-ние прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана прямоуг. с-ма координат и нек-рая линия Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

О. Ур-ние вида Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru связывающее переменные Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тсяур-нием линии Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (в заданной с-ме координат); если этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на линии Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

Примеры ур-ний линий на плоскости.

1. Рассм. прямую параллельную оси Оу. Обозначим буквой А точку пересечения А с Ох. Точка А(а,0).

Ур-ние х=а явл. ур-нием данной прямой, т.к. этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки М(а,у) и не удовлетворяют координатам ни одной точки не лежащей на этой прямой. Если а=0, то прямая совпадает с осью Оу.

2. Ур-ние Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определяет множ-во точек плоскости, составляющих биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

3. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Данноеур-ние задает множ-во точек на плоскости, составляющих биссектрисы коорд. углов.

4. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Это ур-ние задает единственную точку на плоскости с коорд (0,0). Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Это ур-ние с центром в точке (0,0) Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Общее ур-ниепрямой.

Т. Каждая прямая на плоскости с прямоуг. с-мой корд.определяется ур-нием первой степени Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , где α и b одновременно не равны 0. a2 + b2 ≠0 определяет нек-рую прямую на плоскости.

Док-во:Пусть прямая имеет ур-ние Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ,тогда кх-у+b,тоесть А=к,В=-1,С=b,следовательно Ур-ние прямой удовлетворяет общему виду Ур-ний;

Обратно если прямая задается этим урачнение,по условию хотябы один из коэффициентов отлтченотнуля делим на этот коэффициент,и получаем прямую которая соответствует Ур-нию с угловым коэффициентом.

Это ур-ние называют общим ур-нием прямой на плоскости.

Умножение матриц на число.

О. Произведение матрицы А на число aназ-тся матрицей aА, элементы к-рой равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц.

О. Произведение матриц размерности m´n и матрицы В размерности Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся матрица С размерности Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , элементы к-рой Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru вычисляются как сумма произведений соотв-щих элементов Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -строки матрицы А на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -столбца матрицы В.

Пр. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

О.Квадратная матрица порядка nназ-тсяединичной. Обозначается Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения:

ü умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А

ü умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.

ü если А матрицы размерности m´n, В размерности Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Транспонирование матрицы.

О. Если в матрице А размерности n´m все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru размерности m´n, к-руюназ-ют транспонированной матрицей А.

Св-ва транспонирования:

Y Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Y Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Y Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Элементарные преобразования строк матрицы:

* умножение строк матрицы на ненулевое действительное число;

* прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на нек-рое число.

Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.

Ступенчатая матрица-матрица, обладающая след.св-вами:

1. если iтая строка нулевая то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru также нулевая.

2. если первые ненулевые элементы Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru той строки и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru находятся соотв-но в столбцах с номерами k и p. Тогда k<p

Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

О.Ранг матрицы- число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Пр. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

- ранг 3

Определители, их свойства.

О. Определителем 2-го порядка наз-тся число, вычисляемое по ф-ле Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Определителем 3-го порядка соответствующих матрицы А называется число вычисляемое по формуле, которую удобно связывать со следующим правилом:

Т. Определитель 3-го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Определителем Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -го порядка, соотв-щим квадратной матрице Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -го порядка, наз-тся число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

О. Минором Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-ют определитель, полученный из данного путем вычеркивания Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru той строки и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –того столбца. Алгебраическимдаполнением Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-ют число равное Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Св-ва определителя:

f Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

f Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю

f При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

f Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента нек-рой строки(столбца) на число Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то определитель равен Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

f Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.

f Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.

f Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на нек-рое действительное число.

f Определитель произведения равен произведению определителей.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.

Обратная матрица.

Квадратная матрицаА порядка Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А-1.

Т. Справедливы след.утверждения:

² если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.

² определитель обратимой матрицы отличен от 0.

² если А и В- обратимые матрицы порядка Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В-1А-1. (АВ)-1= В-1А-1

Док-во:

1)пусть В и С матрицы обратные матрице А тогда АВ=ВА=Е и АС=СА=Е,тогда В=В*Е=АС*В=ЕС=С,противоречиепоказывающее,что обратная матрица только одна.

2)т.к.А*А-1=Е,то /А*А-1/=/Е/=1, А-1 не=0;

3) (АВ)-1= В-1А-1докажем ,что В-1А-1 обратная для (АВ),

(АВ)* В-1А-1=А*Е*А-1

(АВ)-1= В-1А-1

Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru отличен от 0, то А-1= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Пр. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Понятие непрерывности ф-и.

Ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , определенная на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тсянепрерывной в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Т. Ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывна в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru только тогда, когда Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Док-во:

Предел при (х-х0) стремящемся к 0(f(x)-f(x0))=0;предел при х стремящемся к х0f(x)=f(x0)

Т. Если ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывны в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Док-во:
Док-во непосредственно следует из определения непрерывности и свойств

О. Ф. наз-тся непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывна на отрезке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru такая, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Т. Пусть ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывна на отрезке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru причем Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Пусть Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru такая, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определена и непрерывна на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то она ограничена на этом отрезке.

2-ая теорема Вейерштрасса: Если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывна на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то она достигает на этом отрезке своего наиб.инаим. значения.

Системы линейных уравнений.

Совокупность ур-ний вида

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (1) - с-ма Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –линейных ур-ний с Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –неизвестным Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Числа Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся коэффициентами с-мы. Числа Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru - свободными коэффициентами.

Решением с-мы (1) наз-тся совокупность чисел Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru при подстановке к-рых в с-му (1) вместо Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-маназ-тся совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся матрицей с-мы (1).

Если к данной матрице добавить столбец свободных коэф-тов, такую матрицу наз-ют расширенной матрицей с-мы

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Критерий совместимости с-мы.

Т.Кронекера-Копелли: Для того, чтобы с-ма линейных ур-нийбыла совместно необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом матрицы с-мы.

Пр. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Метод Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

О. С-му будем наз-тьступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейныхур-ний нам понадобится след алгоритм:

1. Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

2. если ранги не равны, то с-манесовместна

3. если ранги равны и равны числу Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то с-масовместна и остается записать ее решение

4. используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му.

5. если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru = Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , т.е. ранг совпадает с числом неизвестных, то с-ма имеет единственное решение.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

6. если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то в с-ме Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ур-ний и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru неизвестных. Неизвестные, к-рые первыми встречаются в ступенчатой с-ме ( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -неизвестных) назовем главными неизвестными, а остальные –свободными неизвестными. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-нийназ-тсякрамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , где D-определитель матрицы с-мы, а Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru - определитель, полученный из D подстановкой вместо Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru того столбца столбец свободных коэф-тов.

Док-во:
т.к матрица системы А не вырождена,то для нее существует обратная матрица А-1,вычисляемая по формуле:

А-1= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Запишем систему в виде матричного Ур-ния АХ=С,

А-1АХ= А-1С

ЕХ= А-1С;Х= А-1С

Предположим,что решение не единственное,тогда

АХ1=С и АХ2=С;АХ1=АХ2;Х1=Х2-данное протеворечиепоказывает,что решение единственное..найдемрешение Ур-ния Х= А-1С

Пр. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Предел ф-и.

О. Число А наз-тся пределом ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru (или в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ). Если для любого числа Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru >0, сущ-ет такое число d>0, что при всех Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , удовлетворяющих условию 0< Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <dвып-тсянер-во Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e.

Для Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru 0< Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <d (1) Þ Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e.

Обозначается Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Геометрический смысл определения. Нер-во (1) означает, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru расположено от Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru на расстоянии не более d, т.е. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru за исключением самой точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Нер-во (2) означает, что значение ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru не выходит из интервала Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru или Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . След-но точки графика ф-и должны находится в полосе шириной 2e, если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Односторонние пределы.

О. Число А наз-тся правым(левым) пределом ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , если для "e>0сущ-етd>0, такое,что для всех Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , удовлетворяющих рав-ву Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru +d ( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -d< Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ); Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e.

"e>0$d>0:" Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru +d ( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -d< Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ruДекартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Связь между односторонними пределами.

Ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru имеет в Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru предел только тогда, когда в этой точке сущ-ет как левый так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-и равен одностороннему пределу.

Пределы ф-и при стремлении аргумента к бесконечности.

О. Пределом ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся число А такое, что для"e>0 $d>0:" Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru >dÞ Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e. Обозначают Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

О. Число наз-тся пределом ф-и при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ®+¥ ( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ®-¥) если для "e>0 $d>0:" Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru >d( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <-d)Þ Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ( Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ).

Теорема Лагранжа.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Пусть на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определена ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru причем:

ü Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывна на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

ü Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru диффер. на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , такая, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Док-во:
Введем в рассмотрение функцию F(x),для функции выполняется:1)F(x) не преывна на отрезке [a;b],как сумма не прерывных функции.2)F(x) ифференцируема на на интервале (a;b) как сумма дифференцируемых функции.3)F(a)=F(b)=0 следовательно существует такая т.С принадлежащая (a;b),что F’(C)=0,следовательно F’(C)= Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Теорема Коши.

Пусть Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru непрерывны на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и дифференцируемы на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и пусть кроме того Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , тогда сущ-ет Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru такая, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Если в кач-ве Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru взять ф-ю. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru = Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определены и дифф. на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru содержащим точку Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru за исключением быть может самой точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Пусть предел при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , тогда если сущ-ет конечный предел, при, Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru то сущ-ет и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru причем они равны

14)Исследование поведения ф-и и построение её графика.

Признак ­ и ¯.

О. Ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся : 1)постоянной, если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , где Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru для Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ;2)возрастающей, если для любых двух значений Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , таких что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru вып-тсянер-во Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; 3)убывающей, если из Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru < Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru следует Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru > Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Достаточное условие ­ и ¯ функции.

Если в данном промежутке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru «+», то ф-я ­ в этом промежутке, если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru «-», то ф-я ¯. Если же на промежутке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то ф-я постоянна на этом промежутке.

Док-во:
Рассмотрим функцию у= f(x) на интервале(а;b) рассмотрим произвольные х1 и х2,такие что х1 Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ч2,по теоремк Лагранжа сущт.С принадлежащая(х1;х2),такая ,что f(x2)- f(x1)=f’(c)(х2-х1);преположим,что производная на (а$b) положительна тогда f(x2)больше f(x1),соответственно если отриц.томеньше,если =0 то раны.В силу произвольности х1 и х2 функция fя вляетсяпостояннлй

Экстремумы ф-и.

Рассм. нек-рую ф-ю Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , определенную на Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Пусть Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru будем наз-ть интервал Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и обозначать Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

О. Если можно указать такую d–окрестность Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , принадлежащую Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , что для всех Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru вып-тся Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru > Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-ют максимумом ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и обозначают Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Если же вып-тсянер-во , то минимумом – Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.

Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.

Если производная =0, то отсюда не следует, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -точка экстремума.

О. Точка, в к-рой производная =0 наз-тсястационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru дифференцируема в нек-рой окрестности Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Если в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru производная=0 и меняет знак при переходе через Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –точка экстремума, причем : 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.

Т.Если в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru явл. точкой экстремума. Причем Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru - Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru >0, и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru - Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <0.

Направление выпуклости и точки перегиба.

О. График Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тсявыпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.

Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.

Если Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –«-«, то-выпуклым вверх.

О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз-тсяточкой перегиба.

Т.(достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru =0 и меняет знак при переходе через нее, то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –точка перегиба.для х в 4 н выполняется.

Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся вертикальной асимптотой графика ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , если хотя бы одно из предельных значений Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru стремится к ¥.

О.Предположим, что Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся наклонной асимптотой графика ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , если эта ф-я представлена в виде Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , где Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru –бесконечно малая, то Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ®0, при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru имеет при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наклонную асимптоту Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , если сущ-ют 2 конечных предела. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Исследование ф-и и построение графика:

I. Найти область определения (Д)

II. обл. значений

III. четность и периодичность

IV. точки пересечения с осями координат

V. изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

VI. точки экстремума и промежутки ­ и ¯

VII. промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

VIII. асимптоты графика

IX. построить график ф-и.

О. Ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тся четной, если: 1) Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru ; 2) Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

О. Ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тсяпериодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1) Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

2) Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

15)Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Предел.

Множ-во точек Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , координаты к-рых удовлетворяют нер-ву Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <dназ-сяd -окрестностью точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

О. Пусть нек-рая ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru определена в нек-рой окрестности точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru кроме самой точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Число А наз-тся пределом ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru или Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . Если для любого Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru существует Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , такое что для всех Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru из Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -окрестности точки Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru вып-тсянер-во Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru <e

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Предел ф-и двух переменных обладает св-вами, аналогичнымисв-вам предела ф-и одной переменной. О.Ф-я Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru наз-тсянепрерывной в точке если:

1.она определена в Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

2.имеет конечный предел при Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

3.этот предел = значению ф-и, т.е. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru .

II. М-д замены переменной.

Теорема: если F(x)-первообр. f(x), Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -дифференц. ф-я. Тогда Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru также имеет первообр. Причем

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru

Док-во: По правилам диф. сложной ф-и Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru дает Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru , т.е. Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru -одна из первообр. для Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат. - student2.ru . След-но

Наши рекомендации