Декартова прямоугольная система координат

Реальное пространство, которое мы будем изучать, называется трехмерным R₃. Каждая точка в нем определяется тройкой действительных чисел. Плоскость – R₂.

Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:

ось Оx – ось абсцисс;

ось Оy – ось ординат;

ось Оz – ось аппликат.

Направление осей координат можно задать единичными векторами (ортами) , , .

Возьмем произвольную точку М. Вектор называется радиус-вектором точки М: . Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор , который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора на оси координат: очевидно, что

Такая картинка называется разложением вектора по трем координатным осям. Проекции радиус вектора на координатные оси обозначим через x, y, z.

Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора на соответствующие координатные оси: M(x, y, z).

Пользуясь свойствами проекций, с помощью единичных векторов , , можно записать: ; ; . Тогда

или . (6.1)

Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

Таким образом, три числа x, y, z, с одной стороны, являются координатами точки М, с другой – координатами радиус-вектора этой точки. Равенство (6.1) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора по координатным осям (по базису , , ).

Система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками упорядоченных чисел (или радиус-векторами).

Обозначим , - углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz.Числа , , принято называть направляющими косинусами вектора .

Из определения проекций пол4учим

; ; (6.2

Учитывая, что - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем определение длины вектора через его координаты

(6.3)

(6.4)

Из системы (7.4) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любоговектора равна 1

Вектор однозначно определяется заданием его длины и

трех направляющих косинусов.

Действия над векторами в координатах.

Пусть даны координаты двух радиусов-векторов и или и

1. два радиус-вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты

2. Чтобы умножить радиус-вектор на число, надо каждую из его координату умножить на это число:

или , т.к.

и т.д. – по первому свойству проекций.

3. Чтобы сложить (вычесть) два радиус-вектора, надо сложить (вычесть) их одноименные координаты.

или ;

т.к. и т.д. – по второму свойству проекций.

Координаты вектора

Пусть даны координаты точек и .

Найдем координаты вектора . Рассмотрим радиус-векторы: и .

Очевидно, что

. В координатной форме:

. (6.5)

Следовательно, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты начала.