Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве

 
  Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Определение: Базисом пространства называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru - базис пространства.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Определение:Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса пространства.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru - декартова система координат в пространстве.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат;

Оz – ось аппликат.

Замечание:Любой вектор Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru может быть единственным образом разложен по базисным векторам Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru : Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru . Числа х, у, z называются координатами вектора Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru в данной декартовой системе координат.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Определение: Декартова система координат в пространстве называется прямоугольной, если базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и единичны.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru – прямоугольная декартова система координат в пространстве.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат;

Оz – ось аппликат.

Замечание:1. Базисные векторы Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru 2. Любой вектор Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru может быть единственным образом разложен по ортам Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru : Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru . Числа х,у,z являются координатами вектора Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Пример:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ; Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ; Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

M – середина AD;

H – середина DC;

F – середина AA1;

N – середина A1 B1;

K – середина B1 C1;

L – середина D1 C1;

P – середина C1 C.

Разложить векторы Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru по векторам Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Решение:

Воспользуемся «правилом многоугольника» сложения нескольких векторов:

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ;

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ;

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ;

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ;

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Упражнения:

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Являются ли компланарными следующие векторы:

а) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru г) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

б) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru д) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

в) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru е) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 за базис взяты векторы Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru;Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru;Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru;

M – середина A1 B1; N – середина B1 C1; S – середина BC; Q – середина AD;

R – середина CD ; T – середина BB1; P – середина AB. Разложить по базису Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru векторы Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

5. Построение точек плоскости (пространства), заданных координатами

 
  Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Пример:

Построить в Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru точки

А(2; - 3);

В (- 1; 4);

С (- 3; - 2);

D(0; - 1).

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Пример: Построить в Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru точки

А(2; 3; 4);

В (- 1; - 3; 3);

С (0; 4; 2);

D(0; 0; 5);

Е(- 2; 0; 6).

6. Понятие радиус-вектора точки. Разложение радиус-вектора точки по ортам

Определение; Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец с данной точкой.

Вывод:

Каждой точке плоскости (пространства) соответствует свой радиус-вектор.

Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки.

Сумма произведений координат радиус-вектора точки М на соответствующие орты называется разложением радиус-вектора точки М по ортам.

 
  Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 1.

В Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru точка М (х; у) имеет радиус-вектор Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Рис. 2.

В Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru точка М (х; у; z) имеет радиус-вектор Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Упражнения:

1. Определить координаты орт в Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ruиБазис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

2. Построить радиус-векторы точек А (2; - 1; 4); В (- 3; 2; - 5); С (0; 0; 4).

3. Разложить радиус-векторы точек А (- 1; 4; 0); В (2; - 2; 5); С (0; 3; - 2) по ортам.

4. Определить координаты радиус-векторов точек М, К, L, E, H если:

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

7. Определение координат вектора на плоскости и в пространстве

 
  Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Задача: Определить координаты Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru в Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ,

если А (х1; у1) и В (х2; у2).

Дано:

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru ;

А (х1; у1);

В (х2; у2).

Определить:

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Решение:

Построим радиус-векторы Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru точек А и В.

А (х1; у1) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru - разложение Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru по ортам;

В (х2; у2) Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru -разложение Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru по ортам;

По правилу вычитания двух векторов Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru можно представить в виде разности Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru - разложение Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru по ортам, где х = х2 - х1; у = у2 - у1.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru

Вывод: Разложить вектор по ортам, значит представить его в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Правило: Чтобы определить координаты любого вектора, надо из координат конца этого вектора вычесть одноименные координаты его начала.

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru .

Пример: Определить координаты Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru , если М (- 3; 0; 4) и N (1; - 5; - 3).

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Дано: Решение:

Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве - student2.ru Воспользуемся правилом определения координат вектора:

Наши рекомендации