Тема 7 Функции нескольких переменных
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение функции двух независимых переменных. Приведите примеры.
2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображение функции двух переменных?
3. Что называется частным и полным приращением функции двух независимых переменных?
4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
5. Какая функция называется непрерывной в точке? В области?
6. Дайте определение частных производных первого порядка функции двух переменных. Каков их геометрический смысл?
7. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?
8.Как найти частные производные второго порядка функции двух перемен-ных?
9. Что является необходимым условием экстремума функции двух переменных?
10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.
Задания для контрольной работы №1
Задание 1
В задачах 1-20 систему уравнений записать в матричной форме и решить ее помощью обратной матрицы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Задание 2
В задачах 1-20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А; 4) уравнения высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
1. A (0;-1), B(12;8), C(10;-6). 2. A (-7; 2), B(5; 11), C(3; -3).
3. A (-5;-3), B(7;6), C(5;-8). 4. A (-6;-2), B(6;7), C(4;-7).
5. A (-3;3), B(9;-6), C(7;8). 6. А (-5; 0), B(7; 9), C(5; -5).
7. A (-6;11), B(6;10), C(4;-4). 8. A (-2;-4), B(10;5), C(8;-9).
9. A (-3;0), B(9;9), C(7;-5). 10. A (-9;2), B(3;7), C(1;-7).
11. A (-5;2), B(7;-7), C(5;7). 12. A (-7;5), B(5;-4), C(3;10).
13. A (-7;1), B(5;-8), C(3;6). 14. A (0;3), B(12;-6), C(10;8).
55. A (-8;4), B(4;-5), C(2;9). 16. A (-2;2), B(10;-7), C(8;7).
17. A (1;2), B(13;-7), C(11;7). 18. A (-4;1), B(8;-8), C(6;6).
19. A (-7;-1), B(-5;-10), C(3;4). 20. A (-8;-4), B(4;5), C(2;-9).
Задание 3
В задачах 1-10 составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (х1; у1) и до прямой х = а равно числу e. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
1. A(4;0), a = 9, ε = 
. 2. A(-8;0), a = - 2, ε =2.
3. A(4;0), a = 1, ε = 2. 4. A(9;0), a = 4, ε = 1.5.
5. A(-1;0), a = -4, ε = 
. 6. A(5;0), a =9, ε = .
7. A(-1;0), a = -4, ε = 8. A(4;0), a = 7, ε =
9. A(3;0),a = 8, ε = 10. A(-4;0),a = -2, ε =3.
В задачах 11-20 составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (х1; у1) равно расстоянию до прямой у = b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.
11. А (2;1), b=- 1. 12. A (-2; -2), b= - 4.
13. A (2;-1), b=2. 14. A (2; -1), b=1.
15. A (4; -1), b=1. 16. А (4;1), b=- 1.
17. А (3;1), b=- 1. 18. А (2;1), b=- 2.
19. А (4;1), b=- 2. 20. А (6;1), b=- 1.
Задание 4
В задачах 1-20 даны координаты точек А, В, С. Требуется : 1) записать векторы 
и 
в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .
1. А(7;-4;1), B(12;-3;1), C(10;1;5). 2. А(0;-3;3), B(5;-2;3), C(3;2;7).
3. А(-2;-1;-2), B(3;0;-2), C(1;4;2). 4. А(-6;0;0), B(-1;1;0), C(-3;5;4).
5. А(-2;-3;-8), B(3;-2;-8), C(1;2;-4). 6. А(1;0;-1), B(6;1;-1), C(4;5;3).
7. А(-1;4;1), B(4;5;1), C(2;9;5). 
8. А(3;-6;-3), B(8;-5;-3), C(6;-1;1).
9. А(1;0;0), B(6;1;0), C(4;5;4). 10.А(2;-8;-2),B(7;-7;-2), C(5;-3;2).
11. А(1;-2;3), B(0;-1;2),C(3;-4;5). 12.А(0;-3;6),B(-12;-3;-3),C(-9;-3;-6).
13. А(3;3;-1), B(5;5;-2), C(4;1;1) 14. А(-1;2;-3), B(3;4;-6), C(1;1;-1).
15. А(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1). 16. А(-3;-7;-5), B(0;-1;-2), C(2;3;0).
17. А(3;3;-1), B(1;5;-2), C(4;1;1). 18. А(0;0;4), B(-3;-6;1), C(-5;-10;-1).
19. А(7;0;2), B(7;1;3), C(8;-1;2). 20. А(0;3;-6), B(9;3;6), C(12;3;7).
Задание 5
Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти:
1) векторы 
в системе орт и их модули;
2) угол между векторами 
;
3) площадь грани АВС;
4) объем пирамиды АВСD;
5) уравнение ребра АВ;
6) уравнение плоскости АВС;
7) уравнение и длину высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС.
1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).
2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).
3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).
4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).
5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).
6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).
7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).
8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).
9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).
10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).
11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).
12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).
13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).
14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).
15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).
16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).
17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).
18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).
19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).
20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).
Задание 6
В задачах 1-20 даны векторы 
, 
, 
, 
. Показать, что векторы
, 
, 
образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
1. (2;1;3), (3;-2;1), (1;-3;-4), (7;0;7).
2. (5;3;1), (-2;-1;2), (-2;1;4), (3;0;1).
3. (1;3;5), (-2;-1;-1), (4;-2;4), (-7;3;-1).
4. (3;1;6), (-2;2;-3), (-4;5;-1), (3;0;1).
5. (4;1;4), (-2;-1;1), (3;1;5), (-3;-2;1).
6. (1;2;5), (2;-3;4), (1;-1;-2), (3;0;1).
7. (5;1;2), (3;4;-1), (-4;2;1), (-3;5;4).
8. (2;1;5), (-4;3;5), (1;-1;-4), (4;-1;-3).
9. (3;1;4), (-4;2;3), (2;-1;-2), (7;-1;0).
10. (1;4;2), (5;-2;-3), (-2;-1;1), (-3;2;4).
11. (2;1;3), (3;-2;1), (1;-3;-4), (7;0;7).
12. (5;3;1), (-2;-1;2), (-2;1;4), (3;0;1).
13. (1;3;5), (-2;-1;-1), (4;-2;4), (-7;3;-1).
14. (3;1;6), (-2;2;-3), (-4;5;-1), (3;0;1).
15. (4;1;4), (-2;-1;1), (3;1;5), (-3;-2;1).
16. (1;2;5), (2;-3;4), (1;-1;-2), (3;0;1).
17. (5;1;2), (3;4;-1), (-4;2;1), (-3;5;4).
18. (2;1;5), (-4;3;5), (1;-1;-4), (4;-1;-3).
19. (3;1;4), (-4;2;3), (2;-1;-2), (7;-1;0).
20. (1;4;2), (5;-2;-3), (-2;-1;1), (-3;2;4).
Задание 7
В задачах 1 – 20 найти указанные пределы.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
.
7. а) 
б) 
в) 
б) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
9. a) 
б) 
в) 
г) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
11. а) 
б) 
в) 
г) 
12. а) 
б) 
в) 
г) 
13. а) 
б) 
в) 
г) 
14. а) 
б) 
в) 
г) 
15. а) 
б) 
в) 
г) 
16. а) 
б) 
в) 
г) 
17. а) 
б) 
в) 
; г) 
18. а) 
б) 
в) 
г) 
19. а) 
б) 
в) 
г) 
20. а) 
б) 
в) 
г) 
Задание 8
В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций:
1. а) 
б) 
в) 
.
2. а) 
б) 
в) 
.
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
.
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
.
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
11. а) 
б) 
в) 
12. а) 
б) 
в) 
.
13. а) 
б) 
в) 
14. а) 
б) 
в) 
15. а) 
б) 
в) 
16. а) 
б) 
в) 
17. а) 
б) 
в) 
18. а) 
б) 
в) 
19. а) 
б) 
в) 
20. а) 
б) 
в) 
Задание 9
В задачах 1-20 исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума; 5) найдите интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Литература
1. Шипачев В.С.
Курс высшей математики: учебник для вузов /В.С.Шипачев; Под редакцией А.Н. Тихонова. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство Оникс, 2007 – 600с.: ил.
2. Демидович Б.П.
Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.:ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003 – 654, [2] с.: ил.
3. Шипачев В.С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для студ. вузов/ В.С. Шипачев- 6-е изд., стер..- М.: Высш. шк., 2006.- 304 с.
Дополнительная литература
1. Данко П.Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век : Мир и образование. – 2003.- Ч.1.- 2003. - 304 с.
2. Данко П.Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие: в 2 ч./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд..- М.: ОНИКС 21 век : Мир и образование. – 2003.- Ч.2.- 2003. - 416 с.
3. Письменный Д.Т.
Конспект лекций по высшей математике. I, II ч. – М.: Рольф, 2007. – 603 с.
4. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике с контрольными работами
/К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко.- 1 курс.;
2 курс. – М.: Айрис Пресс, 2007. – 575 с.; 542 с.