Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y) О D(z).

Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции (рис.).
Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru

Предел и непрерывность ФНП.

Число А называется пределом функции нескольких переменных f Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru в точке М0, если Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru такое, что | f(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М0.

Функция f Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru называется непрерывной в точке М0 Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , если Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru в точке Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru частные производные определяются так:

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru ,

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru . (1)

Если приращение (1) можно представить в виде Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , (2)

Где Аи В не зависят от Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , а Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru стремятся к нулю при стремлении к нулю Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , то функция Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru называется дифференцируемой в точке Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , а линейная часть Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru приращения функции (т.е. та часть Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , которая зависит от Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и обозначается символом Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru :

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru . (3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , то она в этой точке непрерывна.

Производная сложной ФНП.

Пусть М(х1, х2, ..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, ..., xm). Пусть Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xk - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xku Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru f(x1, ..., xk-1, xk + Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xk, xk+1, ..., xm) - f(x1, ..., xm).

Рассмотрим отношение Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , которое зависит от Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xk и определено при всех достаточно малых Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xk, отличных от нуля.

Определение 1. Если существует Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , то он называется частной производной функции u=f(x1, ..., xm) в т. М(x1, ..., xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов: Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru . Таким образом, Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Замечание.Так как изменяется только xk + Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru от Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru аргументов в окрестности точки Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru . Для любого единичного вектора Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru определим производную функции Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru в точке Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru по направлению Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru следующим образом:

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференциируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru обозначается через Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru или fxx'', а Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru через Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru или fxy''. Таким образом,

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru

и, аналогично,

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Производные fxx'',fxy'',fyx'' и fyy'' называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru , Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru и т. д.

Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru ,где Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru — орт направления.

Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. - student2.ru .

Наши рекомендации