Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Пример 3.1.

Найти все частные производные 1-го порядка: Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Пример 3.2.

Найти все частные производные 1-го порядка

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Пример 3.3.

Найти все частные производные 1-го порядка

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Пример 3.4.

Найти все частные производные 2-го порядка

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Пример 3.5.

Дана функция Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru , точка A(1; 1) и вектор Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru .

Найти: a) Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru в точке A; б) производную в точке A по направлению вектора a.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Найдем частные производные данной функции

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Подставим координаты точки А в данные частные производные.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru в точке A

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Определим направляющие косинусы для вектора а

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Для этого найдем длину вектора

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Найдем производную по направлению

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Пример 3.6.

Докажите, что функция Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru удовлетворяет уравнению Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru .

Решение:

Найдем частные производные данной функции

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Пример 3.7.

Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru , где Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru - величина выпуска продукции, Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru - число единиц оборудования (капитал) и Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru равна 4 ден.ед., а стоимость ед. фактора Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru равна 1 ден.ед.

2) Решите задачу определения максимального выпуска продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все средства Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru ден.ед.

Решение:

Функция издержек фирмы

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru ден. ед.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Изокванта для выпуска продукции объемом Q (4, 1)=2

 
  Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

К= Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru ден.ед.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

K
L

Пример 3.8.

Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru .

a=15; b=0,009; c=100; p=85.

1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график;

2) найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Прибыль= доход- издержки

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

1) Область определения

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Д(q)= Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

2) Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru нет корней

Нет точек пересечения с осями координат

3)Четность-нечетность, периодичность

Д(q)= Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Так как график несимметричен относительно оси оу и начала координат, нечетная и не нечетная

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

q=50.92- точка экстремума

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru убыток

q (0;50,92) 50,92 (50,92; Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru )
Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru + -
C -100 возрастает 2275,3 убывает

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

q Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru
Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru -
C -100 выпукла

6) Асимптоты

У=кх+в

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

C
Правой асимптоты нет

Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» - student2.ru

q
p=50.92 объем производства

П=2275,3 прибыль

Наши рекомендации