Перестановки, размещения, сочетания. Вывод формул
Элементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовемвыборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.
Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями, если элементы в выборке повторяются.
Например, телефонный номер 60-61-51 – упорядоченная выборка с повторениями из десяти цифр по шести.
Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти :
Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками
Решение:
Имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, следовательно, всего случаев n=С104,
благоприятных из них m=С21×С83.
Следовательно =
Урновые схемы, вывод формул.
Имеется урна, в которой содержится N шаров
M белых шаров,
N-M черных шаров
Выборка без возвращения
состоит в том, что мы наугад вынимаем последовательно из урны n шаров, не возвращая их обратно.
Какова вероятность вытащить ровно m белых шаров?
Элементарные события – последовательности различных шаров.
Всего элементарных событий
Из них успешных
Выборка с возвращением
состоит в том, что мы наугад вынимаем последовательно из урны n шаров, каждый раз фиксируя выбранный шар и возвращаю его в урну.
Какова вероятность вытащить ровно m белых шаров?
Выборка с возвращением
Элементарные события – последовательности шаров.
Всего элементарных событий
Из них успешных
Теорема сложения вероятностей, доказательство для суммы двух и трёх событий.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема сложения вероятностей
(формула включения-исключения).
Р(А1+А2+А3+...+Аn)=
Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + ... + Р(Аn)
- Р(А1×А2) - Р(А1×А3) - Р(A2×A3) - ... - P(An-1×An) + P(A1×A2×A3) + P(A1×A2×A4) +…+ P(An-2×An-1×An) - ...
- …+(-1)n-1 P(A1×A2×...×An).
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Доказательство (для n=3).
Р(А+В+С) = Р((А+В)+С) = / по аксиоме 4 / = Р(А+В)+Р(С)-Р((А+В)×С) = Р(А+В) + Р(С) - Р(А×С+В×С) = Р(А+В) + Р(С) - (Р(А×С) + Р(В×С) - Р(А×В×С)) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(А×В) - Р(А×С)- Р(В×С) + Р(А×В×С).g
Следствие.
Если события А1, А2, ... ,Аnнесовместны,
то
Р(А1+А2+...+Аn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).