Размещения, перестановки, сочетания. Свойства сочетаний.
Размещения.
Размещениями из элементов по называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение по элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Число всех возможных размещений, которые можно образовать из элементов по , обозначается символом и вычисляется по формуле:
,
(всего k множителей).
Пример:
Перестановки.
Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.
Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:
abc, bac, cab, acb, bca, cba.
Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом
(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)
Пример:
Сочетания.
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:ab, ac, bc.
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :
(В числителе и знаменателе по k множителей).
Пример:
Полезные формулы:
Например:
Дискретный и непрерывный случайный вектор. Свойства плотности распределения случайного вектора.
Пара случайных величин Х1 , Х2 называется случайным вектором. Обозначение :
Чтобы задать случайный вектор, нужно перечислить :
все возможные значения Х1 - х11, х12, ... , x1n ;
все возможные значения Х2 - x21, x22, … , x2m ;
и задать вероятности всех событий Hij = {X1 = x1i}*{X2 = x2j}, которые составляют полную систему событий.
Будем обозначать pij = P(Hij)
Все эти данные удобно расположить в таблице.
Случайный вектор, как и случайная величина, может интерпретироваться
как система точек на плоскости с сосредоточенными в них массами.
В соответствии с таблицей, таких точек mn , но если точка имеет нулевую
массу, то ее можно не изображать на рисунке.
Tеорема(свойства рij) Для того, чтобы рij были распределением
вероятностей дискретного случайного вектора
,
необходимо и достаточно выполнение условий :
Статистическое распределение выборки. Варианты. Полигон и гистограмма.
Статистическим распределением выборки.Статистическим распределением выборкиназывают перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами. Статистическое распределение записывается в виде таблицы: 1 строка – варианты; 2 строка – частоты.
n – объем выборки(частота).Иногда вместо частот используют относительную частоту:Wi = ni / n;ΣWi = 1 Разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки называется размахом выборки, т.е. R = xmax-xmin
При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы. В процессе группированного ряда подсчитываются также накопленные частоты. ñi* - частота i-интервала равна сумме частот: ñ3* = ñ1+*ñ2*+ñ3*
Ŵi*- накопленная относительная частота.
Полигономчастот называется ломаная линия, вершинами которой служат точки с координатами (хi;ni), i=1…k.Для группировки выборки строят гистограмму частот, т.е. ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников,площадь прямоугольника равна частоте ñi*.Площадь гистограммы равна объему выборки.
Высота прямоугольников равна ñ*i / n.