Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Пусть функция имеет производную в точке а, т.е. или , или

, (1)

где – бесконечно малая функция при . Поскольку при , то формулу (1) можно записать в виде

. (2)

При величина быстрее стремится к нулю, чем h. Если этой величиной пренебречь, то получим следующую приближенную формулу:

. (3)

В общем случае сформулируем задачу так: найти многочлен n-ой степени такой, чтобы имело место равенство

.

Если эту задачу решить, то всякую функцию можно заменить многочленом . Многочлен удобен при исследовании функции. Погрешность такой замены будет мала по сравнению с .

Предположим, что функция имеет в некоторой окрестности точки а производные до порядка n включительно. В этом случае имеет место следующее соотношение:

. (4)

Эта формула носит название формулы Тейлора.

Величину называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано. Имеют место и другие выражения для остаточного члена. В частности, если предположить существование -ой производной в некоторой окрестности точки а, то справедливо равенство

(6)

где – некоторое число, .

Формула (6) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если положить , то формула (4) будет иметь вид

(7)

Если здесь положить , то получим формулу Маклорена:

. (8)

Если в формуле (7) перенести в левую часть и обозначить , то будем иметь

.

Заменяя здесь на и принимая во внимание формулы (3.1), (3.2), получим

. (9)

Таким образом, предполагая, что , по приведенной формуле (9) из бесконечно малого приращения можно выделить не только его главный член – первый дифференциал, но и члены более высокого порядка малости, совпадающие с точностью до факториалов в знаменателях с последовательными дифференциалами .

Разложение элементарных функций
по формуле Тейлора

Полагая в формуле (6.6) получим формулу Маклорена

, (1)

с остаточным членом в форме Лагранжа .

1⁰. Разложение функции . Имеем

.

Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид

. (2)

При любом фиксированном x остаточный член в ней стремится к нулю, так как .

2⁰. Разложение функции . Имеем

, .

Формула (1) в данном случае принимает вид

, (3)

где при любом фиксированном x остаточный член стремится к нулю при .

3⁰. Разложение функции . Поскольку

, ,

то

. (4)

И в этом случае остаточный член стремится к нулю при

4⁰. Разложение функции . Имеем

.

Следовательно,

,

.

Заметим, что если , то при .

5⁰. Разложение функции , где а – действительное число, n – натуральное число.

Поскольку k-ая производная данной функции

,

то при получаем

.

Значит,

т. е. получаем разложение по биному Ньютона.

Приложения формулы Тейлора

Если в формуле (7.1) отбросить остаточный член, то получим приближенную формулу

, (1)

которая заменяет функцию многочленом n-ой степени.

Качество этой формулы оценивается границами погрешности для остаточного члена , либо порядком малости этой погрешности при , т. е. она записывается в виде .

Например, если , то получаем приближенную формулу

. (2)

Так как в данном случае , то при его можно оценить следующим образом: .

В частности, при будем иметь

.

При и вычислении с пятью десятичными знаками получим , где верны первые четыре знака, так как ошибка округления не превосходит или .

Если , то из равенств (7.3) получим

, (3)

где остаточный член и .

Для функции из формулы (7.4) получаем

(4)

Погрешность приближенной формулы (4) оценивается остаточным членом , для которого .

В частности, для формулы погрешность оценивается неравенством .

Для функции получаем приближенную формулу

, (5)

где остаточный член и при имеет место грубая оценка: .