Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

ИКТИБ ИТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Лекция 19 Формула Тейлора

Формула Тейлора

Как мы с вами уже отмечали, рычагом к созданию в 17, 18 веках теории дифференциального исчисления явилось необходимость приближения сложной функции более простыми функциями. В качестве таких простых функций английский математик Брук Тейлор (1685-1731) стал использовать многочлены.

Рассмотрим многочлен Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru степени Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , определяемый Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru параметрами: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Пусть задана функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , имеющую Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производных в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Рассмотрим Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru чисел: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , …, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Они однозначно определяют многочлен Тейлора степени не выше Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающий тем свойством, что Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ,…, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru :

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (1)

Многочлен Тейлора (1) и его Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производных совпадают в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru с функцией Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и ее Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производными. Разумно предположить, что многочлен Тейлора (1) приближает функцию Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Этот факт отражается формулой

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (2)

которая называется формулой Тейлора. При Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru формула Тейлора (2) принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (3) и называется формулой Маклорена.

Обратите внимание, что формула Тейлора (2) не нуждается в доказательстве, вопрос состоит лишь в оценке для конкретной функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru величины Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , которая называется остаточным членом в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора разумно в том случае, когда остаточный член Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru является малой величиной и стремится к 0 при Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Для непосредственного применения формулы Тейлора необходимо вычислить производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru .

Пример 1. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Так как функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru совпадает со всеми своими производными, то выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и формула (6) принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (4)

Пример 2. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и далее производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru повторяются. Значения синуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 0, 1, 0, -1, 0 и т. д. Это можно записать в виде формул: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (5)

Пример 3. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и далее производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru повторяются. Значения косинуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 1, 0, -1, 0, 1 и т. д. Это можно записать в виде формул: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (6)

Обратите внимание, что формула (9) может быть получена из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей. И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.

Пример 4. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru на аргумент Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Учитывая, что Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , мы приходим к искомой формуле Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (7)

Сопоставляя формулы (4), (5), (6), (7), мы приходим к формуле Эйлера Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (8) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru стремятся к 0 при всех значениях аргумента.

Пример 5. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , …, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ( Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ). Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (9)

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.

Теорема 1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда для произвольной точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru из этой окрестности найдется точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , принадлежащая интервалу, соединяющую точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (10)

Теорема 2. (Теорема Коши) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда для произвольной точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru из этой окрестности найдется точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , принадлежащая интервалу, соединяющую точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (11)

Теорема 3. (Теорема Пеано) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (12)

Наши рекомендации