Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Мы продолжаем изучение свойств дифференцируемых функций. Первой мы изучили теорему Ферма, суть которой заключается в том, что в точке экстремума производная функции или не существует, или равна 0.

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru непрерывна на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , имеет производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru на интервале Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и при этом Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Тогда существует точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , в которой выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru .

Доказательство. Функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru непрерывна на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и, следовательно, достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения. Если эти значения совпадают, то функция равна константе, и ее производная равна 0 в каждой точке интервала Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Если же наибольшее и наименьшее значения функции не совпадают, то хотя бы одно из них не совпадает со значением функции на границах отрезка. Пусть в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru достигается наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Тогда эта точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru является точкой экстремума и в этой точке по теореме Ферма производная равна 0. Теорема доказана.

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru непрерывна на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и имеет производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru на интервале Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Тогда существует точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , в которой выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и называют формулой конечных приращений Лагранжа.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru непрерывны на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , имеют производные Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru на интервале Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и при этом Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru при Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Тогда существует точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , в которой выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (2).

Формула (2) называется формулой Коши.

Доказательство. Заметим, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если в качестве функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru взять функцию Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Для доказательства теоремы Коши рассмотрим вспомогательную функцию Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Заметим, что функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru непрерывна на отрезке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и имеет производную на интервале Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , при этом Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Итак, для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru выполнены все условия теоремы Ролля. Отсюда существует точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , в которой выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Следовательно, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , что и равносильно условию (2). Теоремы Коши и Лагранжа доказаны.

Правило Лопиталя

Что надо сделать при вычислении предела функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ? Если функция непрерывна, то мы просто подставляем предельное значение. Случаи, когда для вычисления нельзя подставить предельные значения, называются неопределенностями. При вычислении предела вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru возможна ситуация, когда и предел числителя, и предел знаменателя равны 0. Ясно, что в этом случае нельзя применить теорему о том, что предел частного равен частному от пределов. Такого рода ситуация называется неопределенностью вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Если числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, то это неопределенность вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Бывают и другие виды неопределенностей, например, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Правило Лопиталя применимо только для неопределенностей вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Другие виды неопределенностей могут быть преобразованы к неопределенностям этих видов.

Теорема 4. (Теорема Лопиталя) Пусть функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru определены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , за исключением, быть может, самой точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , при этом предел Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru является неопределенностью вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Тогда Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (3) если предел Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru существует.

Доказательство. Так как Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru можно доопределить условиями Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Таким образом доопределенные функции становятся непрерывными на отрезке, соединяющем точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Поэтому для отношения Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru применима теорема Коши и, следовательно, существует точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , лежащая на этом отрезке такая, что Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Отсюда и следует утверждение теоремы.

Пример 1. Вычислите предел Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru .

Решение. Так как это неопределенность вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то является законным применения правила Лопиталя. Следовательно, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Ответ. -8.

Сделаем комментарий к этой краткой записи решения примера. Отметим, что, прежде всего, мы проверили, что пределы по отдельности числителя и знаменателя равны 0, т. е. что у нас неопределенность вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Обратите внимание, что полученный после применения правила Лопиталя предел Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru также является неопределенностью вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Является ли в этой ситуации законным вторичное применение этого правила? Безусловно, да. По правилу Лопиталя, при соответствующих условиях предел отношения функций равен пределу отношения производных, если предел отношения производных существует. При таких обстоятельствах нам нет необходимости заранее проверять существования предела отношения производных. Поэтому правило Лопиталя можно применять неоднократно, пока не исчезнет неопределенность. В данном случае выражение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru можно преобразовать к виду Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и вычислить предел, как предел произведении.

Отметим, что под бесконечно большой величиной понимается величина, обратная к которой является величиной б. м. Отсюда несложно показать, что и к отношению б. б. величин также применимо правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношению производных, если предел отношения производных существует.

Пример 2. Вычислите предел Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru .

Решение. Так как это неопределенность вида Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то является законным применения правила Лопиталя. Следовательно, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Ответ. 0.

Формула Тейлора

Как мы с вами уже отмечали, рычагом к созданию в 17, 18 веках теории дифференциального исчисления явилось необходимость приближения сложной функции более простыми функциями. В качестве таких простых функций английский математик Брук Тейлор (1685-1731) стал использовать многочлены.

Рассмотрим многочлен Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru степени Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , определяемый Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru параметрами: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Пусть задана функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , имеющую Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производных в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Рассмотрим Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru чисел: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , …, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Они однозначно определяют многочлен Тейлора степени не выше Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающий тем свойством, что Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ,…, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru :

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (4)

Многочлен Тейлора (4) и его Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производных совпадают в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru с функцией Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и ее Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производными. Разумно предположить, что многочлен Тейлора (4) приближает функцию Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Этот факт отражается формулой

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (5)

которая называется формулой Тейлора. При Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru формула Тейлора (5) принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (6) и называется формулой Маклорена.

Обратите внимание, что формула Тейлора (5) не нуждается в доказательстве, вопрос состоит лишь в оценке для конкретной функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru величины Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , которая называется остаточным членом в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора разумно в том случае, когда остаточный член Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru является малой величиной и стремится к 0 при Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Для непосредственного применения формулы Тейлора необходимо вычислить производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru .

Пример 3. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Так как функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru совпадает со всеми своими производными, то выполнено условие Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и формула (6) принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (7)

Пример 4. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и далее производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru повторяются. Значения синуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 0, 1, 0, -1, 0 и т. д. Это можно записать в виде формул: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (8)

Пример 5. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и далее производные функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru повторяются. Значения косинуса и его производных в точке 0 соответственно равны числам: 1, 0, -1, 0, 1 и т. д. Это можно записать в виде формул: Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (9)

Обратите внимание, что формула (9) может быть получена из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей. И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.

Пример 6. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru на аргумент Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . Учитывая, что Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , мы приходим к искомой формуле Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (10)

Сопоставляя формулы (7), (8), (9), (10), мы приходим к формуле Эйлера Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (11) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru стремятся к 0 при всех значениях аргумента.

Пример 7. Напишите формулу Тейлора для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru в точке Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru (формулу Маклорена для функции Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ).

Решение. Если Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , то Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , …, Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ( Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru ). Следовательно, искомая формула принимает вид Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru . (12)

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора

Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.

Теорема 5. (Теорема Лагранжа) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда для произвольной точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru из этой окрестности найдется точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , принадлежащая интервалу, соединяющую точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (13)

Теорема 6. (Теорема Коши) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда для произвольной точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru из этой окрестности найдется точка Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , принадлежащая интервалу, соединяющую точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru и Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (14)

Теорема 5. (Теорема Пеано) Пусть функция Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru имеет в некоторой окрестности точки Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru производную Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение Оценка остаточного члена в формуле Тейлора - student2.ru , (15)

Наши рекомендации