Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.

281. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства.

Пусть Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – линейный оператор в Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru -мерном линейном пространстве Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , определяемый матрицей Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru порядка Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru ) называется такой ненулевой вектор Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , который удовлетворяет
условию

Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , (1)

причем Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – действительное число, называемое собственным числом или собственным значением оператора Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru (матрицы Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru ), а Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru называется собственным вектором.

Утверждение 1. Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:

1)Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

2)Если Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – собственный вектор линейного оператора Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru с собственным значением Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – также собственный вектор оператора Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru с собственным значением Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

3)Если Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – линейно независимые собственные векторы линейного оператора Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru с одним и тем же собственным значением Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – также собственный вектор этого оператора с собственным значением Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

4)Если Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – собственные векторы линейного оператора Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru с различными собственными числами Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru ( Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru ), то Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru и Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – линейно независимы.

Преобразуем уравнение (1), определяющее собственные векторы и собственные числа линейного оператора А, к однородному уравнению.

Из (1) имеем Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru . Поскольку Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru , то отсюда получаем Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru или

Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru . (1’)

282. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы.

Условие при котором система (1’) имеет нетривиальное решение, запишется в виде:

Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru . (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы А, многочлен Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru – характеристическим многочленом матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.

Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (2).

Если характеристическое уравнение (2) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.

283. Приведение матрицы к диагональному виду.

Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.

Утверждение 1. Матрица А линейного преобразования имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.

Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует такая невырожденная матрица Т, что матрица Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. - student2.ru .

Матрица Т составляется из собственных векторов матрицы А,записанных по столбцам.

Теорема 1. Матрица А линейного оператора n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А.

Очевидно, что для построения матрицы Т достаточно найти собственные векторы матрицы А.

Наши рекомендации