Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.
281. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства.
Пусть – линейный оператор в -мерном линейном пространстве , определяемый матрицей порядка .
Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы ) называется такой ненулевой вектор , который удовлетворяет
условию
, (1)
причем – действительное число, называемое собственным числом или собственным значением оператора (матрицы ), а называется собственным вектором.
Утверждение 1. Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:
1)Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение .
2)Если – собственный вектор линейного оператора с собственным значением и , то – также собственный вектор оператора с собственным значением .
3)Если и – линейно независимые собственные векторы линейного оператора с одним и тем же собственным значением , то – также собственный вектор этого оператора с собственным значением .
4)Если и – собственные векторы линейного оператора с различными собственными числами и ( ), то и – линейно независимы.
Преобразуем уравнение (1), определяющее собственные векторы и собственные числа линейного оператора А, к однородному уравнению.
Из (1) имеем . Поскольку , то отсюда получаем или
. (1’)
282. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы.
Условие при котором система (1’) имеет нетривиальное решение, запишется в виде:
. (2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы А, многочлен – характеристическим многочленом матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.
Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (2).
Если характеристическое уравнение (2) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.
283. Приведение матрицы к диагональному виду.
Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.
Утверждение 1. Матрица А линейного преобразования имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.
Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует такая невырожденная матрица Т, что матрица .
Матрица Т составляется из собственных векторов матрицы А,записанных по столбцам.
Теорема 1. Матрица А линейного оператора n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А.
Очевидно, что для построения матрицы Т достаточно найти собственные векторы матрицы А.