Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. Правила
Натуральные числа. Правила
| Для счёта предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: триста двадцать восемь - 328 пятьдесят тысяч четыреста двадцать один - 50421 Такую запись чисел называют десятичной. |
| Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ... |
| Самое маленькое натуральное число — единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет. |
| Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например 375: цифра 5 означает: 5 единиц, она на последнем месте в записи числа (в разряде единиц), цифра 7 - десятки, она находится на предпоследнем месте (в разряде десятков), цифра 3 - сотни, она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен) и т. д. |
| Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа "нуль". Это число означает "ни одного". Помните! Нуль не относят к натуральным числам. |
| Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, то его называют однозначным. Например, числа 1, 5, 8 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным. числа 14, 33, 28, 95 — двузначные, числа 386, 555, 951 — трехзначные, числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные и т. д. |
Плоскость. Прямая. Луч. Правила
| Примеры плоскостей мы встречаем в жизни постоянно. Это поверхности окна, парты, школьной доски, но в отличие от этих поверхностей математическая плоскость не ограничена краями. Она простирается бесконечно во все стороны. |
 Нарисуем две точки A и B . Проведем через них по линейке линию как на рисунке. У нас получилась прямая, которую обозначают прямая AB или прямая BA . Через любые две точки проходит одна единственная прямая. Прямая не имеет концов. Она неограниченно продолжается в обе стороны. Точки A и B лежат на прямой. Прямая разделяет плоскость на две части, две полуплоскости. |
 Если прямую AB разделить точкой O, то мы получим два луча, которые будут называться луч OB и луч OA . Переставлять буквы в их названиях нельзя, потому что точка O является началом этих лучей, и названия начинаются именно с нее. В отличие от прямой луч бесконечен только в одну сторону. |
 Если две прямые имеют общую точку, например O , как на рисунке, то говорят, что они пересекаются в этой точке. Точка O — точка пересечения прямых. |
Шкалы и координаты. Правила
  Длины измеряют разными измерительными приборами. Один из них — линейка (рис. сверху). Деления, нанесенные на линейку, разбивают ее на равные части. Расстояние между мелкими рисками равно 1 миллиметр, а между крупными 1 сантиметр. Шкалы могут быть и на других измерительных приборах, например термометр (рис. слева). Данный термометр имеет цену деления равную 1 градус Цельсия. Сейчас он показывает температуру 18 °C (градусов Цельсия).Наведите курсор на рисунок и подождите. |
На рисунке внизу изображен луч ОХ. Отметим на этом луче точку F . Под началом луча, точка O , напишем число 0 , а под точкой F — число 1. Отрезок OF называется единичным отрезком. Нанесем на луч точку D , так чтобы расстояние OF было равно расстоянию FD и под точкой D напишем число 2 . Затем на этом же луче отложим отрезок DE , равный единичному отрезку, и под точкой E напишем число 3 . Повторяя эти действия, мы получим бесконечную шкалу. Ее называют координатным лучом. Числа 0, 1, 2, 3, ... , соответствующие точкам O, F, D, E ... , называют координатами этих точек. Пишут: О(0), F(1), D(2), E(3) и т. д.  |
 На рисунке выше изображены кухонные весы, которые используются для измерения массы. Вы видите две шкалы, наведите мышку на рисунок. На первой цена большого деления равна 500 грамм , а меньшего — 100 грамм. На втором рисунке цена большого деления 200 г. , меньшего — 100 г. , а самого маленького 25 г. По подписям делений хорошо видно что, 1000 грамм равны 1 килограмму. 1000 г = 1 кг (килограмм); 1 г = 1000 мг (миллиграмм); 100 кг = 1 ц (центнер); 1000 кг = 1 т (тонна). |
Сравнение чисел. Правила
При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, ... . Число, которое при счете называют раньше, меньше того, которое при счете называют позже. Число 1 меньше, чем 3, а число 4 больше, чем 3. Единица — самое маленькое натуральное число. Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.  Например, точка A(2) (см. рисунок) лежит левее точки E(6). Нуль меньше любого натурального числа. |
| Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки < (меньше) и > (больше) . Например: 1 < 3 ; 4 > 3 ; 5 < 7 . Число 3 меньше, чем 4, и больше, чем 1. Это записывают в виде двойного неравенства: 1 < 3 < 4 . Так как нуль меньше, чем единица, то записывают: 0 < 1 . |
| Многозначные числа сравнивают так. Число 1007 больше, чем 929, потому что 1007 — четырехзначное число, а 929 — трехзначное. 1007 > 929. Числа 3221 и 1723 — четырехзначные, но 3221 > 1723, потому что в первом числе больше тысяч, чем во втором. В четырехзначных числах 7505 и 7287 поровну тысяч, но сотен в первом числе больше, и потому 7505 > 7287 . |
Знаками < и > обозначают также результат сравнения отрезков.  Если отрезок OA короче отрезка AE, то пишут: OA < AE. |
 Если же отрезок OA длинее отрезка AE, то пишут: OA > AE . |
| Легкий способ запоминания, когда использовать < , а когда > , для сравнения чисел. Меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака, а большее с широкого (большого) конца знака: 1 < 3 ; 3 > 1. |
| Сложение и вычитание натуральных чисел |
 6. Сложение натуральных чисел и его свойства |
 7. Вычитание натуральных чисел и его свойства |
| 8. Уравнение |
Уравнение. Правила
| Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением. Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях. Например, уравнение x + 6 = 7 верно при x = 1 и неверно при x = 2 . Значение буквы, при котором уравнение — верно, называют корнем уравнения. Например, корнем уравнения x + 2 = 5 является число 3 . Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что оно не имеет решения. |
| Пример 1. Решим уравнение x + 28 = 42 . Решение: С помощью вычитания, найдем неизвестное слагаемое. x = 42 – 28, то есть x = 14 . Число 14 является корнем уравнения x + 28 = 42 , потому что 14 + 28 = 42 . Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. |
| Пример 2. Решим уравнение y – 17 = 88 . Решение: y = 17 + 88 , то есть y = 105 . Число 105 является корнем уравнения y – 17 = 88 , так как верно равенство 105 – 17 = 88 . Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. |
| Пример 3. Решим уравнение 44 – z = 27 . Решение: z = 44 – 27 , то есть z = 17 . Число 17 является корнем уравнения 44 – z = 27 , так как верно равенство 44 – 17 = 27 . Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. |
| Задача. Два арбуза весят 14 кг, причем масса одного из них равна 8 кг. Какова масса второго арбуза? Решение: Обозначим массу второго арбуза буквой х . Так как масса двух арбузов равна 14 кг, получаем: х + 8 = 14 . Найдем такое значение x , при котором это равенство будет верно. Нам надо найти слагаемое по сумме и второму слагаемому. х = 14 – 8 ; х = 6 . О т в е т: Масса второго арбуза равна 6 кг. |
| Умножение и деление натуральных чисел |
| 9. Умножение натуральных чисел и его свойства |
| 10. Деление натуральных чисел и его свойства |
| 11. Деление с остатком |
| 12. Порядок выполнения действий |
| 13. Упрощение выражений |
| 14. Степень числа. Квадрат и куб числа |
Деление с остатком. Правила
Не всегда одно натуральное число делится нацело на другое натуральное число. Например: У нас есть 85 конфет. Как нам разделить их на семь человек? В данном случае:  85 — делимое. 7 — делитель. 12 — неполное частное. 1 — остаток. Каждому достанется по двенадцать штук иодна конфета останется. |
 Остаток обязательно должен быть меньше делителя. Если в остатке нуль, то делимое делится на делитель нацело (без остатка). |
| Если нам надо найти делимое, зная делитель, неполное частное и остаток. Надо перемножить делитель и неполное частное и прибавить остаток. Если делитель = 7 , неполное частное = 12 , а остаток = 1 , то делимое = 7 • 12 + 1 = 85 . |
Окружность и круг. Правила
| Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R . Центр окружности обозначают буквой O. Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом.(Наведите курсор на рисунок.) Точка O — это центр и круга и окружности. |
 Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности. Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке. BC = OC + OB , так как BC = D а OC = OB = R , то D = 2R . |
Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг. Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками. На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую изеленую. Записать их названия мы можем так:  BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой; BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге. |
Единичного отрезка ОЕ .
Совпадает с единицей.
Сравнение дробей. Правила
 На рисунке вы видите круг, разделенный на четыре части. Две части вместе, например желтые, составляют половину круга. Делаем вывод, что = . | ||||
При сравнении дробей надо руководствоваться следующими правилами.  Если у дробей одинаковые знаменатели, большей дробью будет та, у которой числитель больше. | ||||
 Если у дробей одинаковые числители, то большей дробью будет та, у которой знаменатель меньше. На координатном луче меньшая дробь находится левее, а большая правее. |
Круга.
+
=
;
+
=
.
В буквенном виде выражение сложения дробей выглядит так:
| a |
| c |
+
| b |
| c |
=
| a+b |
| c |
.
–
=
;
–
=
.
В буквенном виде вычитание дробей записывают так:
| a |
| c |
–
| b |
| c |
=
| a−b |
| c |
.
Деление и дроби. Правила
Математическую операцию деление вы уже знаете хорошо. До сих пор мы делили большее число на меньшее, а можно ли меньшее число разделить на большее. Рассмотрим пример из жизни.  У нас есть две плитки шоколада, а желающих ими полакомиться трое. Разломим каждую плитку на три части и получим 6 частей. Каждая часть — это |
Смешанные числа. Правила
| Предположим, нам надо разделить три яблока поровну между двумя детьми. Мы можем сделать это двумя способами. Во-первых, можно разрезать каждое яблоко пополам и разделить полученные 6 половинок на 2 (половина —– это яблока), + + = . = 1 . является смешанным числом и равняется сумме ) . = 2 + . | ||||||||||||||||||||||||||||
| Научимся переводить неправильную дробь в смешанное число. Например, возьмем дробь . Разделим 7 на 3 . В целую часть, . = 2 ; = 1 ; = 4 . | ||||||||||||||||||||||||||||
| Чтобы выделить целую часть в смешанном числе, поступают следующим образом: 6 = 6 + 1 = 7 . | ||||||||||||||||||||||||||||
| При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, а дробные отдельно. Не забудьте выделить целую часть, если дробь при сложении получилась неправильная. 2 + 3 = 2 + 3 + + = 5 + = 5 + 1 = 6 . – 1 = 2 – 1 = (2 – 1) + ( – ) = 1 . |
| Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей |
| 25. Десятичная запись дробных чисел |
| 26. Сравнение десятичных дробей |
| 27. Сложение и вычитание десятичных дробей |
| 28. Приближенные значения чисел. Округление чисел |
Проценты. Правила
| Одна сотая часть любой величины или числа называется процентом. 1% (один процент) = = 0,01 ; = 0,05 ; = = 0,2 ; = 0,33 . | ||||||||||
| Найдем 20% от 300 : 1-ый способ: 20% от 300 = 300 : 100 • 20 = 60 ; 2-ой способ: 20% от 300 = 0,20 • 300 = 60 . | ||||||||||
| Задача №1: В классе 25 учеников, 40% (сорок процентов) из них девочки. Сколько девочек в классе? Решение: 25 : 100 • 40 = 10 девочек ; или 25 • 0,40 = 10 девочек ; О т в е т : в классе 10 девочек. | ||||||||||
| Задача №2: В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду. Сколько кустов роз в саду? Решение: 5 : 25 • 100 = 20 кустов роз; или 5 : 0,25 = 20 кустов роз; О т в е т : в саду растет 20 кустов роз. | ||||||||||
| Задача №3: На стоянке стоит 40 машин, 8 из них фирмы Рено. Какой процент машин фирмы Рено от всех стоящих на стоянке? Решение: 8 : 40 • 100 = 20 % . О т в е т : на стоянке 20% машин фирмы Рено. |
Натуральные числа. Правила
| Для счёта предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: триста двадцать восемь - 328 пятьдесят тысяч четыреста двадцать один - 50421 Такую запись чисел называют десятичной. |
| Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ... |
| Самое маленькое натуральное число — единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет. |
| Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например 375: цифра 5 означает: 5 единиц, она на последнем месте в записи числа (в разряде единиц), цифра 7 - десятки, она находится на предпоследнем месте (в разряде десятков), цифра 3 - сотни, она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен) и т. д. |
| Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа "нуль". Это число означает "ни одного". Помните! Нуль не относят к натуральным числам. |
| Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, то его называют однозначным. Например, числа 1, 5, 8 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным. числа 14, 33, 28, 95 — двузначные, числа 386, 555, 951 — трехзначные, числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные и т. д. |
Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. Правила
 Две точки A и B соединенные прямой линией называются отрезком АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка AB. Любые две точки можно соединить только одним отрезком. На рисунке изображен отрезок АВ. Точка N лежит на этом отрезке между точками A и B, а точки E и M на нем не лежат. Точка N разделяет отрезок AB на два отрезка AN и NB. Их также можно назвать NA и BN. |
| Математическая запись принадлежности точек выглядит так: N ∈ AB — N принадлежит отрезку AB ; A ∈ AB — A принадлежит отрезку AB ; E ∉ AB — E не принадлежит отрезку AB . |
 На рисунке изображен отрезок ЕM длиной 1 см. Если отрезок AВ на том же рисунке состоит из семи частей, равных отрезку EM, то длина отрезка АВ равна 7 см. Пишут: АВ = 7 см Длину отрезка AB называют также расстоянием между точками А и В. |
| Для измерения длин кроме сантиметра применяют и другие единицы длины. Десять сантиметров называют дециметром: 10 см = 1 дм Сто сантиметров называют метром: 100 см = 1 м Один сантиметр равен десяти миллиметрам: 1 см = 10 мм Большие расстояния измеряют в километрах. Один километр равен одной тысяче метров: 1 км = 1000 м |
 Отрезки АВ, ВС и АС на рисунке вместе составляют треугольник ABC и называются его сторонами, а точки А, В и С — вершинами треугольника ABC. На этом же рисунке изображены четырехугольник DGEF и пятиугольник LNOPM. Вершинами четырехугольника являются точки D, G, E и F, а его сторонами — отрезки DG, GЕ, EF и FD. Такие фигуры, как треугольник, четырехугольник и т. д., называют многоугольниками. |