Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

Распространим метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный в лекции 19 для решения линейного уравнения первого порядка, на линейные уравнения высших порядков. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде . При этом требуется найти п неизвестных функций с₁(х), с₂(х),…, с_п(х), которые удовлетворяли бы только одному уравнению

. (22.1)

Поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п-1 уравнениям, выбранным так, чтобы производные функции имели по возможности такой же вид, как при постоянных c_i. Первая производная решения имеет вид: . Потребуем, чтобы вторая сумма в этом выражении равнялась нулю: , тогда . Зададим такое же условие для второй производной:

, , . Продолжая вычислять производные функции до порядка п – 1 включительно и требуя каждый раз, чтобы , получим:

(22.2)

( в последнем равенстве уже нельзя потребовать, чтобы вторая сумма равнялась нулю, так как на искомые функции уже наложено п – 1 условие, а последним требованием является то, что эти функции должны удовлетворять уравнению (22.1)). Подставив с учетом (22.2) в (22.1), получим:

,

но y_i – частные решения однородного уравнения, следовательно, все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему: . (22.3)

Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы (22.2), получим систему из п уравнений для определения с₁΄, с₂΄,…, с_п΄, определитель которой является определителем Вронского для функций у₁, у₂,…, у_п и, следовательно, не равен нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций, а затем с помощью интегрирования и сами функции с₁, с₂,…, с_п.

Пример.

. Найдем решение однородного уравнения, для чего составим характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0, k₁ = k₂ =1. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у = (с₁ + c ₂ x)е^х, то есть фундаментальную систему решений составляют функции у₁ = е^х и у₂ = хе^х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде у = с₁(х)е^х + с₂(х)хе^х. Составим систему (22.2):

, откуда ,

, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: у = е^х(хln|x| - x + C₁x + C₂).

Подбор частного решения для неоднородного уравнения с постоянными

Коэффициентами.

Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения

(22.4)

можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (22.4).

1. f(x) = A₀ x^s +A₁ x^s-1 +…+ A_s (а_п ≠ 0). При этом существует частное решение уравнения (22.4), имеющее такой же вид: y = B₀ x^s + B₁ x^s-1 +…+ B_s. Действительно, подставив эту функцию в уравнение (22.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений: . Пример. . Будем искать частное решение в виде у = Ах + В, тогда , и после подстановки в уравнение получим: 3А + 2Ах + 2В = 3х – 5. Тогда 2А = 3, 3А + 2В = = -5. Следовательно, , и общее решение уравнения можно записать в виде: .

2. Если (то есть k = 0 является α – кратным корнем характеристического уравнения), то частное решение имеет вид: . Легко убедиться, что функция подобного вида является решением уравнения (22.4) при поставленных условиях. Пример. . Пусть Подставляя в уравнение, получим: откуда –36А = 2, 24А – 18В = 0, 6В – 6С = 5. Решая эту систему, получаем Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: .

3. . Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения, можно задать частное решение в виде: . Если же р – корень характеристического уравнения кратности α, частное решение имеет вид: . В обоих случаях с помощью подстановки в исходное уравнение можно убедиться, что выбранные функции являются его решениями. Пример 1. . Найдя корни характеристического уравнения k² + k – 2 = 0: k₁ = 1, k₂ = -2, видим, что р = -1 не является корнем этого уравнения. Поэтому будем искать частное решение в форме y = e^-x(Ax + B). При этом . Подставляя в уравнение, получаем: , откуда –2А = 1, -А – 2В = 0, то есть . Итак, общее решение уравнения: . Пример 2. . Здесь р = 1 – корень характеристического уравнения кратности 2, поэтому частное решение имеет вид . Подстановка в уравнение дает 2Ае^х = 2е^х, откуда А =1, а общее решение: у = (с₁ + с₂х + х²)е^х.

4. В аналогичной форме задаются частные решения в случае, когда правая часть уравнения (22.1) имеет вид , где Р и Q – некоторые многочлены: а) если p ± qi - не корни характеристического уравнения, то можно подобрать частное решение в виде , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень т которых есть старшая из степеней многочленов Р и Q.

б) если p ± qi - корни характеристического уравнения кратности α, то

.

Пример.

. При этом ± - корни характеристического уравнения кратности 2, поэтому следует искать частное решение в виде: .

5. Если правая часть уравнения (22.1) представляет собой сумму функций, рассмотренных в предыдущих пунктах, то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений, соответствующих каждому из слагаемых правой части.

Пример.

Для уравнения частное решение ищем в виде:

.

Лекция 23.