Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных

Доказано, что для линейного неоднородного дифференциального уравнения
y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x)
при непрерывной правой части f(x), для любых начальных значений
x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1
существует и единственно решение задачи Коши
y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1 , ...,(y)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Решение задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), который состоит в следующем:
Записываем искомое решение задачи Коши для неоднородного уравнения в виде
y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + ... + cn(x) yn(x),
где y1(x), y2(x), ..., yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, и находим неизвестные функции
c1(x) , c2(x), ..., cn(x),
такие, чтобы функция y = y(x) удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным начальным условиям.

Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения второго порядка
y'' + a1 y' + a2 y = f(x), y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1.
Будем искать решение задачи в виде
y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x),
где y1(x), y2(x) — линейно независимые решения однородного уравнения
y'' + a1 y' + a2 y = 0.
Вычислим y'(x), y''(x) и подставим полученные выражения в уравнение.
Вычислим первую производную
y'(x)= (c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x)) + (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x)),
положим
c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0
и тогда
y'(x)= c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x),
y''(x)= (y'(x))'= (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x))'=
=c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x).

Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим:
y'' + a1 y' + a2 y =
= c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x) +
+ a1(c1(x) y1'(x)+c2(x) y2'(x)) + a2(c1(x) y1(x)+c2(x) y2(x)) =
= c1(x)( y1''(x)+a1 y1'(x)+a2 y1(x)) + c2(x)( y2''(x)+a1 y2'(x)+a2 y2(x)) +
+ c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = 0 + 0 + c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x),
при условии c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0.

Тогда неизвестные функции c1(x) и c2(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений
c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x),
c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0
с известными y1(x) и y2(x).
Эта система легко разрешима относительно c1(x) и c2(x):
c1'(x) = f(x)y2(x)/(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x)),
c1'(x)= f(x)y1(x)/(y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)).
Вычислив интегралы в правой части системы, получим
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru

Произвольные константы C1 и C2 определяются из начальных условий.

Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений для
c1'(x) и c2'(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C1 и C2 гарантированы линейной независимостью y1(x) и y2(x),
(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x))№0 для линейно независимых y1(x) и y2(x).

Для того чтобы решить задачу Коши для уравнения более высокого порядка действуем аналогично.
Решение задачи Коши ищем в виде
y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + ... + cn(x) yn(x),
где y1(x), y2(x), ..., yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.
Неизвестные функции c1(x) , c2(x), ..., cn(x)
находим как решения линейной системы дифференциальных уравнений
c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) + ... + cn'(x) yn(x) = 0
c1'(x) y1'(x) + c2'(x) y2'(x) + ... + cn'(x) yn'(x) = 0,
c1'(x) y1''(x) + c2'(x) y2''(x) + ... + cn'(x) yn''(x) = 0,
.................
c1'(x) y1(n-1)(x) + c2'(x) y2(n-1)(x) + ... + cn'(x) yn(n-1)(x) = f(x),
которая в силу линейной независимости y1(x), y2(x), ..., yn(x) разрешима относительно ci'(x).
Вычислив ci(x) = Fi(x) + Ci находим произвольные постоянные Ci из начальных условий и тогда искомое решение уравнения имеет вид
y(x)= F1(x) y1(x) + F2(x) y2(x) + ...+ Fn(x) yn(x) + C1y1(x) + C2 y2(x) +...+ Cnyn(x).

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:
записать характеристическое уравнение;
найти все корни характеристического уравнения λ1 2, ... , λn;
найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
представить искомое решение задачи Коши в виде линейной комбинации
y(x)= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + ... + cn(x)yn(x),
с неизвестными функциями c1(x), c2(x), ..., cn(x);
составить и решить систему для c1 (x), c2(x), ..., cn(x);
подставить вычисленные ci(x) = Fi(x) + Ci в выражение для решения и записать для него начальные условия;
найти из начальных условий значения констант Ci и записать искомое решение.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения λ12, ... , λn, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
найти методом вариации произвольных постоянных любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);
записать выражение для общего решения
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x).

Если известно общее решение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru , соответствующего уравнению (1) однородного уравнения , то для определения частного решения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru уравнения (1) используют метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.Именно , ищут частное решение неоднородного уравнения (1) в виде Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru , где от функций Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru дополнительно требуется,чтобы они удовлетворяли условиям Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru для всех Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru (где Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru .Тогда дляфункций Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru ,получимсистемууравнений Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru

Определитель этой системы есть отличный от нуля вронскиан фундаментальной системы решений Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru ,поэтому система имеет единственное решение относительно Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных - student2.ru

Наши рекомендации