Метод вариации произвольных постоянных
Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:
Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:
Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:
42. Двойные интегралы. Св-ва.
Задачи:
1)V цилиндроида
2) Масса пластинки с поверхностной плотностью ρ(х,у). толщиной принебрегаем.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
y
0 x
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.
С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.
Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.
42. Двойные интегралы. Св-ва.С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:
В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:
Свойства двойного интеграла.
1)
2)
3) Если D = D1 + D2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .
6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то .
7) .
41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область
41) Теорема:Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл то $ повт интеграл Док-во: Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0<x1<…<xn=b, c=y0<y1<…<yn=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] mik=inf f(x,y) Mik=sup f(x,y) Rik Rik
На промежутке [xi;xi+1] возьмём точку x. Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = x.Получаем следующее неравенство mik£ f(x;y)£ Mik yk£ y£ yk+1 Проинтегрируем его по отрезку [yk; yk+1]
42) Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими
кривыми: y=j1(x) a £ x £ a – снизу; y=j2(x) a £ x £ b – сверху; x = a – слева; x= b – справа; Тогда имеет место следующая теорема. Теорема: Если функция
41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область
f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл то тогда существует повторный интеграл Доказательство:
Обозначим c=inf j1(x) a £ x £ b; d=max j1(x) a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию Рассмотрим Получаем равенство: