Метод вариации произвольных постоянных

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

42. Двойные интегралы. Св-ва.

Задачи:

1)V цилиндроида

2) Масса пластинки с поверхностной плотностью ρ(х,у). толщиной принебрегаем.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

y

0 x

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

42. Двойные интегралы. Св-ва.С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

Свойства двойного интеграла.

1) Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

2) Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

3) Если D = D1 + D2, то

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru .

6) Если f1(x, y) £ f2(x, y), то Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru .

7) Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru .

41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область

41) Теорема:Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru то $ повт интеграл Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru Док-во: Метод вариации произвольных постоянных - student2.ruРазобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0<x1<…<xn=b, c=y0<y1<…<yn=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] mik=inf f(x,y) Mik=sup f(x,y) Rik Rik

На промежутке [xi;xi+1] возьмём точку x. Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = x.Получаем следующее неравенство mik£ f(x;y)£ Mik yk£ y£ yk+1 Проинтегрируем его по отрезку [yk; yk+1]

Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

42) Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими

кривыми: y=j1(x) a £ x £ a – снизу; y=j2(x) a £ x £ b – сверху; x = a – слева; x= b – справа; Тогда имеет место следующая теорема. Теорема: Если функция

41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область

f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru то тогда существует повторный интеграл Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru Доказательство: Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

Обозначим c=inf j1(x) a £ x £ b; d=max j1(x) a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru Рассмотрим Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru Получаем равенство: Метод вариации произвольных постоянных - student2.ru

Наши рекомендации