Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Определение 23.1. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

В частности, система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (23.1)

Можно использовать матричную запись такой системы, если ввести матрицы

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Тогда системе (23.1) эквивалентно матричное уравнение Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (23.2)

Если же рассмотреть линейный оператор Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , уравнение (23.2) примет вид:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (23.3)

Так как оператор L обладает свойствами линейности:

1) L[cX] = cL[X];

2) L[X1 + X2] = L[X1] + L[X2],

то для решений линейной однородной системы (23.3) (при F = 0) справедливы те же свойства: если Х1 и Х2 – решения однородного уравнения (23.3) , то и их линейная комбинация будет решением того же уравнения.

Можно ввести понятие линейной зависимости решений Х1, Х2,…, Хп:

Определение 23.2. Векторы (столбцы) Х1, Х2,…, Хп , где

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , называются линейно зависимымипри Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , если существуют числа α12,…, αп, не все равные нулю, что

α1Х1 + α2Х2 +…+ αпХп ≡ 0 (23.4)

при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Если же тождество (23.4) справедливо только при всех αi = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание. Назовем определителем Вронского для уравнения (23.4) определитель вида

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , (23.5)

являющийся определителем системы уравнений, получаемых при координатной записи равенства (23.4). Можно показать, что так же, как и в случае решения линейного однородного уравнения, при W = 0 решения Х1, Х2,…, Хп линейно зависимы на [a,b]. Тогда справедлива следующая теорема:

Теорема 23.1. Линейная комбинация Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru п линейно независимых решений линейной однородной системы является общим решением этой системы.

Будем искать фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (23.6)

в виде: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , (23.7)

где αi – постоянные. Подставив (23.7) в (23.6) и сократив на ekt, получим:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (23.8)

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был равен нулю:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , (23.9)

что представляет собой уравнение п – й степени относительно k, называемое характеристическим.

Если все корни характеристического уравнения различны, то, подставляя их последовательно в систему (23.8), можно найти соответствующие им значения Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru и тем самым п различных решений системы (23.6). Эти решения линейно независимы. Действительно, если бы существовали числа β1, β2,…, βп такие, что

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , то в силу линейной независимости функций Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru отсюда следовало бы, что Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru для каждого i. Но поскольку хотя бы одно из Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru не равно нулю, получаем, что все Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Следовательно, найденные решения (23.7) линейно независимы, и общее решение системы имеет вид: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , (23.10)

где ci – произвольные постоянные.

Пример.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Составим характеристическое уравнение: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru

k1 = 1, k2 =5. Для k = 1 получаем систему для определения Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru : Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , то есть

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Примем Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , тогда Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . При k = 5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru ,

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Тогда Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Следовательно, общее решение системы имеет вид: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru .

В случае кратных корней характеристического уравнения решение системы (23.6) имеет вид

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , где γ – кратность корня ks.

Пример.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Характеристическое уравнение имеет вид: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru

k1 = k2 = 3. Пусть x = (c1 + c2 t)e3t, y = (c3 + c4 t)e3t. Выразим постоянные с3 и с4 через с1 и с2. Для этого подставим найденные решения в одно из уравнений системы и приравняем коэффициенты при e3t и te3t: (3c1 + c2 + 3c2t)e3t = (2c1 + c3)e3t + (2c2 + c4)te3t, c3 = c1 + c2,

c4 = c2. Итак, общее решение системы получено в форме: x = (c1 + c2 t)e3t, y = (c1+ с2 + c2t)e3t.

Замечание. Для неоднородной системы (23.1) общим решением, так же как для неоднородного уравнения, будет сумма общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы. При подборе частных решений справедлив принцип суперпозиции.

Пример.

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . Найдем частное решение в виде: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . При подстановке получим: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , откуда А = 3, В = 1. Прибавив к полученному частному решению общее решение соответствующей однородной системы, запишем общее решение исходной системы: x = c1et + 2c2e4t + 3e5t, y = -c1et + c2e4t + e5t.

Лекция 24.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений и их систем. Определение устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория. Точки покоя. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Условия устойчивости точки покоя.

Поскольку при решении реальных задач с помощью дифференциальных уравнений начальные условия обычно являются результатами измерений и, следовательно, получены с некоторой погрешностью, очень важным является вопрос о том, как изменится решение уравнения при малом изменении начальных условий. В частности, если такие изменения существенно меняют решение, то подобное решение, очевидно, не имеет практической ценности.

Пусть некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.1)

с начальными условиями yi(t0) = yi0 .

Определение 24.1. Решение φi (t) (ǐ = 1,2,…,n) называется устойчивым по Ляпунову, если

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru такое, что для всякого решения yi (t) той же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , для всех Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru справедливы неравенства Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.2)

(то есть близкие по значениям решения остаются близкими для всех Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru ).

Если хотя бы для одного решения yi (t) неравенства (24.2) не выполняются, решение φi (t) называется неустойчивым.

Если решение φi (t) не только устойчиво по Ляпунову, но и удовлетворяет условию

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.3)

при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , то это решение называется асимптотически устойчивым.

Замечание. Одно условие (24.3) не обеспечивает устойчивость решения.

Фазовая плоскость.

Дифференциальное уравнение второго порядка

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.4)

равносильно системе уравнений первого порядка

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (24.5)

Геометрически общее решение уравнения (24.4) или системы (24.5) можно представить семейством фазовых траекторий на фазовой плоскости Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru .Особенно удобно такое представление в случае, когда функция Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru не содержит явным образом независимого переменного t. Тогда система (24.5) имеет вид

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.6)

и называется автономной системой. Фазовые траектории в этом случае удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , (24.7)

которое каждой точке ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой.

Точки покоя.

Определение 24.2. Точка Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru фазовой плоскости системы (24.6) называется обыкновенной точкой, если Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru и Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль; через каждую обыкновенную точку проходит одна фазовая траектория. Точка Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru называется особой точкой, если Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru и Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru .

Замечание. Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в их окрестности.

Исследование на устойчивость некоторого решения Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru системы (24.1) можно свести к исследованию тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат, преобразуя систему к новым переменным: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru - отклонениям прежних неизвестных от решения, исследуемого на устойчивость. В новых переменных система (24.1) принимает вид:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru (24.8)

Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , где Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . (24.9)

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru .

Рассмотрим различные наборы корней этого уравнения:

1) k1 и k2 действительны и различны. Тогда общее решение системы (24.9) можно задать так: Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru . При этом возможны следующие случаи:

а) если k1 < 0 и k2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , и все точки, находящиеся в начальный момент t = t0 в любой δ – окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой ε – окрестности начала координат, а при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru стремятся к началу координат. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

 
  Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru б) если k1 > 0, k2 >0, можно свести исследование к предыдущему случаю заменой t на –t. При этом фазовые траектории имеют такой же вид, но направление движения меняется на противоположное, то есть при увеличении t точка удаляется от начала координат, поэтому подобная точка покоя – неустойчивый узел – неустойчива по Ляпунову.

в) при k1 > 0, k2 < 0 точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru точка с возрастанием t выходит из ε – окрестности начала координат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом.

2) k1,2 = p ± qi . Тогда общее решение системы (24.9) можно представить в виде

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , где Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru - линейные комбинации произвольных постоянных с1, с2. При этом возможны следующие случаи:

а) p < 0, q ≠ 0. Тогда Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , а тригонометрические функции являются ограниченными. Поэтому фазовые траектории являются спиралями, асимптотически приближающимися при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru к началу координат. Таким образом, точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.

б) p > 0, q ≠ 0. Изменяется направление движения по фазовым траекториям, следовательно, точки удаляются от начала координат и точка покоя неустойчива – неустойчивый фокус.

в) р = 0. Траекториями являются замкнутые кривые, окружающие точку покоя, называемую в этом случае центром. Такая точка покоя устойчива, так как можно подобрать такое δ, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в δ – окрестности начала координат, не выходят за пределы ε – окрестности начала координат (x² (t) + y² (t) < ε² ).

3) Корни кратны: k1 = k2.

а) k1 = k2 < 0. Тогда общее решение Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru стремится к нулю при Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru , и точка покоя вновь называется устойчивым узлом. При Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения. - student2.ru получаем частный случай устойчивого узла – так называемый дикритический узел.

б) k1 = k2 > 0. Направление движения по траекториям меняется - неустойчивый узел.

Наши рекомендации