Частные производные функции нескольких переменных

Частные производные первого порядка

Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е². Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной перемен­ной х при фиксированном значении переменной у и обознача­ется как

Аналогичным образом определяется частная производная функции f(x, у) по переменной у в точке М, обозначаемая как

Функция, имеющая частные производные, называется диффе­ренцируемой.

Совершенно аналогично определяются частные производ­ные функций трех и более переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значени­ях других координат.

Найти частные производные следующих функций.

Решение. Дифференцируем функцию z = f(x, y) сначала по х, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли x и у. Получаем

Ррешение. Частные производные этой функции трех пере­менных выражаются следующими формулами:

Пример 4. Найти предельные показатели продукции Q при изменении одного из факторов: затрат капитала К или вели­чины трудовых ресурсов L — по функции Кобба—Дугласа

Решение. Частные производные этой функции

дают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, что в функции Кобба—Дугласа показатели степеней α и l — α пред­ставляют собой соответственно коэффициенты эластичности E_K(Q) и E_L(Q) по каждому из входящих в нее аргументов.

Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и = f(x, у, z), диф­ференцируемую в некоторой точке M(x, y, z).

Определение 1. Градиентом функции и = f(x, у, z) называ­ется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в точке М.

Для обозначения градиента функции используется символ

Аналогично в случае функции двух переменных и = f(x, у) имеем

Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функ­ции введем понятие поверхности уровня. Это понятие анало­гично понятию линии уровня, рассмотренному в п. 8.2.

Определение 2. Поверхностью уровня функции и = f(x, у, z) называется поверхность, на которой эта функция сохраняет по­стоянное значение

В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное выше остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фи­гурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5. Найти градиент и его модуль функции z = в точке М (0, 1).

Решение. По формуле (8.8) имеем для функции двух пе­ременных

При х = 0 и у = 1 получаем

Пример 6. Найти градиент и его модуль функции и = x² + у² - z² в точке М (1, 1, -2).

Решение. По формуле (8.7) имеем

Подставляя в это выражение координаты точки М, полу­чаем

Пример 7. Найти поверхности уровня функции u = х² — 2х + у² + 2у — z.

Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.9) имеем

где С = с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью х = 1, у = -1, параллельной оси Oz, вершины которых лежат в точках с ко­ординатами (1, -1, -С).

Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух и более переменных также представляют собой функции не­скольких переменных, и их можно также продифференциро­вать, т.е. найти частные производные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида z = f(x, у) возможны че­тыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные, в которых дифференцирование произво­дится по разным переменным, называются смешанными произ­водными. Аналогичным образом для функций нескольких пе­ременных определяются частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производ­ных второго порядка для функции двух переменных.

Решение. Последовательно дифференцируя, получаем

Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем

В рассмотренных примерах смешанные производные оказа­лись равными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция z = f(x, у) дважды дифферен­цируема в точке М₀(x­₀, y₀), тo ее смешанные производные в этой точке равны.