Частные производные функции трёх переменных

Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных: первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Производные функций одной переменной. Во-вторых, очень важно прочитать статью Частные производные функции двух переменных, осмыслить и прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то пойдём уверенной походкой, будет интересно, даже удовольствие получите!

Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид z = f(x; y), где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.

Функция трёх переменных имеет вид u = f(x; y; z), при этом переменные x; y; z называются независимыми переменными или аргументами, а переменная u называется зависимой переменной или функцией. Например:

– это функция трёх переменных.

А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь это или нет?

Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность.

Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина / ширина / высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:

– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина / ширина / высота)?

– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

– Возможно ли путешествие в прошлое?

– Возможно ли путешествие в будущее?

– Существуют ли инопланетяне?

На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:

Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю

Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью ☺.

Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры! Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных. Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!

Пример 1

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Решение:Нетрудно догадаться, чтодля функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:

или – частная производная по «икс»;

или – частная производная по «игрек»;

или – частная производная по «зет».

В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников и методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби с круглыми дэ»?

Пример: следует читать следующим образом: «частная производная дэ у по дэ икс».

Начнём с производной « у по икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменные и считаются константами (постоянными числами).А производная любой константы, как известно, равна нулю:

Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.

(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».

(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.

Частная производная . Когда мы находим частную производную «у по игрек», то переменные и считаются константами:

(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.

(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.

И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «у по зет», то переменные и считаются константами:

Общее правило очевидно и незатейливо: «Когда мы находим частную производнуюпо какой-либо независимой переменной, то две другиенезависимые переменные считаются константами».

При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы(которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ.

Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства

(длина / ширина / высота)?

Верный ответ: «Наукой это не запрещено». Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть, гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств и сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Помимо простейших Примеров 1-2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Навёрстываем упущенное.

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

.

Решение:вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные y, z считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции yz – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу yz на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:

; или ещё можно записать так: .

Это степенная функция со сложным основанием (синусом).

По правилу дифференцирования сложной функции:

Теперь вспоминаем, что

, таким образом: .

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», тогда x, z считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

.

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции:

.

Теперь вспоминаем нашу замену: .

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» (x, y – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка для функции трёх переменных

и составить полный дифференциал первого порядка.

Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите. Такие примеры быстро не решаю даже я.

Отвлекаемся и разбираем второй вопрос викторины: «Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова?». То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

Верный ответ: Да. Причём, очень легко. Например, добавляем к

(длине / ширине / высоте)

четвёртое измерение – время.

К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, и так далее, и так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.

Разберём еще пару типовых задач:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка в точке M(2, 1, 0) для функции:

.

Решение:Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:

– нужно найти частные производные первого порядка;

– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке M(2, 1, 0).

Решаем:

(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса .

По правилу дифференцирования сложной функциирезультат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения):

.

(2) Используем свойства линейности.

(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что y, z – константы.

По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной

в точке M(2, 1, 0). Подставим координаты точки в найденную производную:

.

Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:

Как видите, шаблон решения практически такой же.

Вычислим значение найденной частной производной

в точке M(2, 1, 0):

.

И, наконец, производная по «зет»:

.

Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке M. Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.

Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции u(M) и производных – уже в четвертом измерении, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.

Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое? Верный ответ: Нет. Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи ☻. Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Грустная штука, но время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину.

Пример 6

Найти частные производные первого порядка в точке M(1, -1, 0) для функции:

.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка в точке M(1, 1, 1) для функции:

.

Это два несложных примера для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Но вы не расстраивайтесь из-за второго закона термодинамики, сейчас я всех приободрю более сложными примерами:

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

.

Решение: Найдем частные производные первого порядка:

(1) Начиная находить производную, следует придерживаться того же подхода, что и для функции одной переменной. Используем свойства линейности, в данном случае выносим за знак производной константы .

(2) Под знаком производной у нас находится произведение двух функций, каждая из которых зависитот нашей «живой» переменной «икс». Поэтому необходимо использовать правило дифференцирования произведения .

(3) С производной сложностей никаких, а вот производная является производной сложной функции: сначала необходимо найти, по сути, табличный логарифм

и домножить его на производную от вложения.

(4) Думаю, все уже освоились с простейшими примерами вроде . Тут у нас «живой» только , производная которого 2x.

Практически зеркален случай с производной по «игрек», его я запишу короче и без комментариев:

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё почти что то же самое:

(1) Выносим константы за знак производной.

(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависитот «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Готово.

Пример 9

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

.

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядкафункции трёх переменных, еще раз взбодрю всех четвертым вопросом викторины:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено. Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.