Числовые последовательности и операции над ними

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,... поставлено в соответствие вещественное число xп, то множество вещественных чисел

x1, x2, x3, …, xn, … (2.1)

называется числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа х1, x2, x3, ..., xп, ... будем называть элемента­ми, или членами последовательности (2.1), символ xп — об­щим элементом, или членом последовательности, а число п — его номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {хп}. Например, символ {1/n} обозначает последовательность чисел

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, xп), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула xп = -1 + (-1)n определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {хп} = {1/n} на чи­словой прямой.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Понятие сходящейся последовательности

Определение 2. Число а называется пределом последова­тельности {xn}, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N, что при всех п > N выполняется неравенство

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (2.2)

Последовательность, имеющая предел, называется сходя­щейся. Если последовательность имеет своим пределом число а, то это записывается так:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Последовательность, не имеющая предела, называется рас­ходящейся.

Определение 3. Последовательность, имеющая своим преде­лом число а = 0, называется бесконечно малой последователь­ностью.

Замечание 1. Пусть последовательность {хп} имеет своим пределом число а. Тогда последовательность {αn}= {xn — a} есть бесконечно малая, т.е. любой элемент xп сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

где αn — элемент бесконечно малой последовательности {αn}.

Замечание 2. Неравенство (2.2) эквивалентно неравен­ствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5)

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Это означает, что при п > N все элементы последователь­ности {xn} находятся в ε-окрестности точки а (рис. 2.2), причем номер N определяется по величине ε.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет со­бой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в лю­бой ε-окрестности точки а на числовой прямой находится бес­конечное число точек — элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элемен­тов. Поэтому предел последовательности часто называют точ­кой сгущения.

Замечание 3. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконеч­ный предел, что записывается в следующем виде:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (2.3)

Если при этом начиная с некоторого номера все члены по­следовательности положительны (отрицательны), то пишут

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Если {xn} — бесконечно малая последовательность, то {1/xп} — бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последова­тельностей.

Пример 1. Показать, используя определение предела последовательности, что Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 — ε) / ε. Доста­точно принять N = [(1 — ε)/ε] (целая часть числа (1 — ε)/ ε)* , чтобы неравенство |xп — 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.

* Символ [a] означает целую часть числа а, т.е. наибольшее целое число, не превосходящееа. Например,[2] = 2, [2,5] = 2, [0,8] = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2. Показать, что последовательность {хп} = (-1)n, или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела.

Решение. Действительно, какое бы число мы ни предпо­ложили в качестве предела: 1 или —1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется — вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов xп: все элементы с нечетными номерами рав­ны —1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {хп} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {xп} и {yп}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {хп} и {уп}.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп} при условии, что предел последовательности {уп} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {хп} и {yп}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {хn} удовлетворяют неравенству xп ≥ b (хп ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. При n Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель на n2. Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 4. Найти предел последовательности {xп} = Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru при п Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n, получаем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность,то в силу свойства 8 окончательно получаем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 5. Найти предел последовательности {хп} = Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru при п Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {хп}. Умножим и разделим формулу для {хn} на сопряженное выражение Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru :

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Число е

Рассмотрим последовательность {хп}, общий член которой выражается формулой

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, по определе­нию

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .

Применение в экономике

Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (2.4)

где Q0 — первоначальная сумма вклада в банк, р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), п — количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении п периодов времени. Формулы типа (2.4) используются также в демографических расчетах (прирост на­родонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). Пусть первоначальный депозит Q0 помещен в банк под р = 100% годовых, тогда через год сумма депозита составит 2Q0. Предположим, что через полгода счет закроется с результатом Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru и эта сумма будет вновь помещена в качестве депозита в том же банке. В конце года депозит будет составлять Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Будем уменьшать срок размещения депозита в бан­ке при условии его последующего размещения после изъятия. При ежеквартальном повторении этих операций депозит в конце года составит Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Если повторять операцию изъятие-размещение в течение года сколько угодно раз, то при ежемесячном манипулировании сумма за год составит Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ; при ежедневном посещении банка Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ; при ежечасном — Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru и т.д. Нетрудно видеть, что последовательность значений возрастания первоначально­го вклада {qn} = {Qn/Q0} как раз совпадает с последователь­ностью, пределом которой является число ε при п Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru соглас­но (2.4). Таким образом, доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

где r = р/100. Это выражение можно преобразовать:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Мы можем ввести новую переменную Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru и при n Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru получим m Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ,или

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычисле­ниями по непрерывным процентам.

Пример 2. Пусть темп инфляции составляет 1% в день.Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Применение формулы сложных процентов дает

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

где Q0 — первоначальная сумма, 182 — число дней в полуго­дии. Преобразуя это выражение, получаем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

т.е. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти пределы следующих последовательностей.

2.1. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.2. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.3. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.4. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.5. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.6. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.7. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 2.8. Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

2.9. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при а) р = 3% и б) р = 5%.

2.10. Коммерческий банк, обслуживающий предприятие по вы­даче заработной платы, задерживает перечисляемые ему сред­ства в среднем на 9 месяцев. За это время он успевает три раза "прокрутить" эти деньги в виде краткосрочных кредитов, вы­даваемых частным предпринимателям на три месяца, под 3% в месяц. Сколько процентов прибыли получает банк на этой операции?

2.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать, что выгод­нее банку: кредитовать из собственных средств предприятия на условиях ставки годового процента, равной 20%, или зани­маться вышеуказанной деятельностью.

2.12. Темп инфляции составляет 6% в месяц. Каков должен быть процент годовой ставки кредита, выдаваемого банком, чтобы прибыль от кредитования составляла 12% в год?

Глава 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие функции

Определение функциональной зависимости

Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множес­тва и пусть каждому элементу x Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Y. Тогда будем го­ворить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой перемен­ной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, мно­жество Y — областью значений (изменения) функции.

Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (x), y = F(x), y = g(x).

Если множество Y значений функции ограничено, то функ­ция называется ограниченной, в противном случае — неогра­ниченной.

Способы задания функций

Задать функцию — значит указать закон, по которому, со­гласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Сущест­вуют три основных способа задания функций: табличный, ана­литический и графический.

1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое при­менение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспе­риментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из пе­ременных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

2. Аналитический способ. Этот способ состоит в зада­нии связи между аргументом и функцией в виде формул. Сле­дует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул — на разных промежутках области определения функции используются разные формулы.

Приведем примеры аналитического задания функций.

Пример 1. у = х3. Эта функция задана на бесконечной пря­мой - Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru < x < Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Множество значений этой функции тоже бесконечная числовая прямая - Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru < у < Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Функция называ­ется кубической параболой (рис. 3.1).

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.1

Пример 2. у = Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Функция задана на отрезке [—1, 1], множество ее значений — отрезок [0, 1]. Это половина окруж­ности, лежащая в верхней полуплоскости (рис. 3.2).

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.2

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru +1, если x > 0;

Пример 3. у = sign x = 0, если х = 0;

-1, если х < 0.

Термин sign происходит от латинского signum — знак. Функ­ция задана на всем бесконечном промежутке (- Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ), а область ее значений состоит из трех чисел: —1, 0, 1 (рис. 3.3).

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.3

Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек ни оси ординат, так как при х = 0 значение функции определено по другому соответствию.

3. Графический способ. Здесь соответствие между аргу­ментом и функцией задается посредством графика. Этот спо­соб обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейс­мографы и т.п.).

Область определения функции

Остановимся на процедуре нахождения области определе­ния функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (3.1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только

положительным, а также неко­торые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1.у = log2 (x2 — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x2 — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратно­го трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (- Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , 2) и (3, Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Область определения этой функции находится из совокуп­ности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не дол­жен равняться нулю, т.е.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым нера­венствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных проме­жутков: (- Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , -3] и (-1, Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ). Запретная точка х = -2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуин­терваловвходят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x-4­­/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физи­ческим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (сим­метрия относительно оси Оу), если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выпол­нено условие:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Например, функции у = х2 и у = cos x являются четными, а функции у = x3 и у = sin x— нечетными.

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области эко­номики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равнове­сия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложе­ния S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадаю­щей кривой (рис. 3.5, а):

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается урав­нением

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответ­ствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предло­жения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проб­лем рынка, означающая фактически торг между производите­лем и покупателем (рис. 3.7).

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P1 называет производитель (в прос­тейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится по­лучить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену Р2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена Р2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешев­ле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2, соот­ветствующий цене P2, и определяет свою цену Р3, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручи­ванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р0: Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Pn = P0.

Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

сходящуюся к точке а, причем а Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Х или a Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru X. Соответ­ствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

и правомерно рассмотреть вопрос о ее сходимости.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или пределом функции при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru а), если для любой cходящейся к а последовательности (3.5) значений аргумента х, отличных от а, соответствующая последовательность зна­чений функции (3.6) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции использу­ется следующая символика: Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru f(x) Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru А. Заметим, что функция f(x) может иметь в точке а только одно предельное зна­чение, поскольку последовательность f(xn) имеет только один предел.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Функция f(x) = С = const имеет предел в каж­дой точке числовой прямой. Действительно, любой последо­вательности (3.5), сходящейся к точке а, соответствует после­довательность (3.6), состоящая из одного и того же числа C, откуда следует, что f(xn) Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru С при n Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Пример 2. Функция f(x) = х в любой точке а числовой пря­мой имеет предел, равный а. Действительно, последователь­ности значений аргумента (3.5) и значений функции (3.6) в этом случае тождественны, и если последовательность {xn} сходится к а, то и последовательность {f(xn)} также сходится к а.

Пример 3. Функция f(x) = Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru имеет в точке x = 0 предел, равный -2. Действительно, пусть {xn} — любая по­следовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т.е. lim xп = 0 при n Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , тогда в силу свойств последовательнос­тей 1—9 имеем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Левый и правый пределы функции

Здесь вводятся и в дальнейшем будут использоваться по­нятия односторонних пределов функции: когда последователь­ность значений аргумента xn Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru а либо слева от точки а (левый предел), либо справа (правый предел), т.е. либо xп < а, либо xп > а. Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 4. Рассмотрим функцию f(x) = sign x (п. 3.1, при­мер 3). В точке x = 0 эта функция имеет левый и правый пределы:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности {xn}, у которой все элементы xп < 0 (xn > 0), соот­ветствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа -1 (+1), т.е. предел слева (справа) в точке x = 0 также равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1. Функция f(x) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, причем они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , x Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru - Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Кроме понятия предела функции в точке существует так­же и понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Для обозначения предела функции при x Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru используется запись: Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru f(x) = А.

Приведем пример предела функции при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Пусть f(x) = 1/x. Эта функция имеет предел при x Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , рав­ный нулю. Действительно, если (3.5) — бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность (3.6) значений функции имеет вид 1/x1, 1/x2,..., 1/xn,...; она является бесконечно малой (п. 2.1), т. е. ее предел равен нулю, или в символической записи Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (1/x) = 0.

Аналогично можно доказать, что Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru (1/xn) = 0 при п > 0.

Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции f(x) ± g{x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при В ≠ 0) имеют в точке а пределы, равные соответ­ственно А± В, А В и А/В.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть мо­жет, самой точки а, и функции f(x) и g(х), имеют в этой точке предел, равный А: Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru Кроме того, пусть выполнены неравенства f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Тогда

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и в случае, когда а является Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru , + Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru или - Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Часто встречаются случаи, когда непосредственно приме­нить теорему о пределе частного нельзя. Это так называемые неопределенности вида Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru или Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Далее будет рассмотрен метод раскрытия этих неопределенностей, связанный с диф­ференцированием. Однако зачастую решение связано с более простыми методами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степеньx и т.д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Найти предел Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подста­новка предельного значения x = 2 в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сокра­тим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение х = 2:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 2. Найти предел Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. В задачах такого типа следует разделить чис­литель и знаменатель на старшую степень x (в данном случае это просто x) и затем применить теорему 3.2 о переходе к пре­делу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 3. Найти предел Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x3 (это старшая степень x), после чего вос­пользуемся теоремой 3.2:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Поясним также раскрытие неопределенности вида Числовые последовательности и операции над ними - student2.ruЧисловые последовательности и операции над ними - student2.ru . Рассмотрим характерный случай.

Пример 4. Найти предел Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Здесь следует умножить и разделить выраже­ние под знаком предела на сопряженное выражение — в дан­ном случае на ( Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru ), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степень x, в данном случае — на Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru . Имеем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.

ТЕОРЕМА 4. Предел функции Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru в точке х =0 существу­ет и равен единице, т.е.

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Предел (3.7) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других преде­лов. Рассмотрим несколько примеров на применение предела (3.7).

Пример 1. Найти предел функции sin (ax) / bx при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 0.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаме­нателе был аргумент синуса; только тогда можно будет при­менить первый замечательный предел, поскольку при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 0 пределом ах также является нуль. Получаем

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 2. Найти Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Теорему 3.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при х Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru 0 знаменатель дроби стремится к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

Пример 3. Найти Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru .

Решение. Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы "подогнать" ее под первый замечательный предел:

Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru

ТЕОРЕМА 5 (второй замечательный предел). Предел функции f(x) = Числовые последовательности и операции над ними - student2.ru при х